Suma del número de divisores para el cuadrado n

Question

Así que he descubierto que se puede encontrar la suma de $\sigma_0(n)$ utilizando:

$\sum_{i=1}^N \sigma_0(i) = \sum_{i=1}^N \lfloor \frac{N}{i} \rfloor$

o mejor aún:

$\sum_{i=1}^N \sigma_0(i) = \sum_{i=1}^f 2 * \lfloor \frac{N}{i} \rfloor - f^2$ donde $f = \lfloor N^\frac{1}{2} \rfloor$

¿Existe una expresión igualmente útil para:

$\sum_{i=1}^N \sigma_0(i^2) = \space?$

Answer 1

$\sum_{i=1}^N \sigma_0(i^2) = \sum_{i=1}^N 2^{\omega(i)}\lfloor \frac{N}{i} \rfloor$

y en general

$\sum_{i=1}^N \sigma_0(i^k) = \sum_{i=1}^N k^{\omega(i)}\lfloor \frac{N}{i} \rfloor$