Matriz elevada a matriz: $M^N$ ¿es posible? con $M,N\in M_n(\Bbb K).$

Question

Me preguntaba si existe una operación válida como elevar una matriz a la potencia de una matriz, por ejemplo, vagamente, si $M$ es una matriz, es $$ M^N $$ válido, ¿o existe al menos algo similar? ¿Serían los componentes de la matriz elevados a cada componente de la matriz a la que se eleva, dando como resultado, de nuevo, otra matriz?

Gracias,

Answer 1

Es posible definir la exponencial $$\exp(M) = \sum_{n \ge 0}^{\infty} \frac{M^n}{n!}$$

de cualquier matriz mediante series de potencias. Del mismo modo, es posible definir el logaritmo $$\log(I + M) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1} M^n}{n}$$

cuando la serie anterior converge (esto se garantiza, por ejemplo, si el mayor valor singular de $M$ es inferior a $1$ ). Por lo tanto, podemos definir $$M^N = \exp(N \log M)$$

imitando la identidad $a^b = e^{b \log a}$ para, digamos, reales positivos, pero esto no tendrá buenas propiedades a menos que $N$ y $M$ ir al trabajo, creo. Es mejor considerar la exponencial y el logaritmo por separado.

Como ya he comentado en otro lugar de math.SE el hecho de que la exponencial ordinaria tome dos entradas del mismo tipo es engañoso. La mayoría (pero no todas) de las operaciones matemáticas de tipo exponencial toman dos entradas de distinto tipo.