Soluciones adicionales al multiplicar por el conjugado complejo

Question

¿Dónde está el error en este razonamiento?

Supongamos que escribo $11$ como un producto de enteros gaussianos, $11=(a+bi)(c+di)$ y quiero determinar para qué $a,b,c,d$ la ecuación se mantiene. Entonces multiplicando ambos lados por el respectivo complejo conjugado obtenemos $121=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ que tiene una solución $a=0,b=11,c=1,d=0$ pero esto implica, a partir de la primera ecuación, que $11=11i$ Así que asumo que tiene que ver con la multiplicación por las unidades en $\mathbb Z[i]$ o similar a cómo elevar al cuadrado una ecuación puede crear más soluciones, pero ¿podría alguien dar una explicación adecuada?

Answer 1

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=121$ no significa necesariamente $(a+bi)(c+di)=11$ . También podría significar $(a+bi)(c+di)=11i$ o $-11$ o $-11i$ .

Por lo tanto, hay varios valores posibles de $(a+bi)(c+di)$ que todos dan $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=121$ y sólo de $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=121$ no se puede saber cuál es el que se busca.

Answer 2

Factorización en primos en $\Bbb Z[i]$ es único hasta el orden y las unidades. Por lo tanto,

1. Determinar una factorización.

2. Si tiene $n$ factores primos, se puede multiplicar cada uno con una unidad, dando como resultado $4^{n-1}$ posibilidades. Si se permite una unidad líder en la representación, entonces es $4^n$ posibilidades porque efectivamente tiene un factor adicional en el producto.

3. Además, puedes reordenar los factores primos en $n!$ formas siempre que cada factor ocurra sólo una vez. Si hay multiplicidades mayores, sigue siendo simple combinatoria.

En el caso del 11 sólo existe el factor primo 11. Si se utiliza una unidad principal, entonces son las representaciones de 4 $u^{-1}\cdot(11u)$ para las 4 unidades $u$ .