Al tomar las derivadas posteriores, ¿por qué las unidades se elevan al cuadrado?

Question

$F(t)$ es una función de tasa que mide los widgets por minuto, su tasa media de cambio va a la derivada del siguiente nivel ... por lo tanto widgets por min $^2$

En los tipos relacionados, el área es (unidad $^2$ ) y el volumen es (unidad $^3$ ). No pensé en ellas como derivadas, sino en cálculos 2D vs 3D.

Déjame pensar en la relación estándar Distancia/Velocidad/Acc.

• $S(t)$ = distancia recorrida (en millas), $t$ = horas
• $S(1)$ = 50 millas.
• $S(3)$ = 150 millas.

Por lo tanto, Avg. Tasa de cambio en el intervalo $[1,3]$ es $$ \frac{100 \text{ miles}}{2 \text{ hours}} = 50 \frac{\text{miles}}{\text{hour}}.$$ En este caso, no he elevado al cuadrado las unidades de las horas porque empecé con una función de cantidad (no de tasa) Las unidades tienen un sentido intuitivo: "50 millas por cada hora".

Pero, digamos que consideramos la función de aceleración, la derivada de la función de tasa.

• $v(1) = 40$
• $v(3) = 60$

El Avg. de cambio de velocidad desde [1,3] es de 20 millas / 2 horas Es por esto que la Tasa de Cambio Promedio de la velocidad de [1,3] es de 20 millas / 2 horas. de cambio de velocidad debe escribirse como 10 millas/hora^2?

En pocas palabras,

• $S = \text{miles}$
• $S' = V = \text{miles/hour}$
• $S'' = V' = A = \text{miles/hour}^2$
• $S''' = V'' = A' = \text{miles/hour}^3$ ?

Veo la conexión entre las unidades horarias y el nivel de derivación de S. Pero, ¿es mejor pensar en esto como fracciones?

$$S'' = V' = A = \text{miles/hour}^2$$

¿Alguna vez ocurre algo de análisis dimensional? $$\frac{\text{miles}}{\text{hour}} \times \frac{1}{\text{hour}} = \frac{\text{miles}}{\text{hour}^2}$$

Aquí es donde llegué: Si tienes una función de tasa, por ejemplo "millas/hora". Entonces tomas la tasa de cambio de eso "milla por hora, por hora" o $$\frac{\frac{miles}{hour}}{hour} = miles/hour^2$$ . Esto también se refleja en el cálculo de la tasa media de cambio: $$\frac{f(b) - f(a)}{(b-a)} = \frac{(miles/hour - miles/hour)}{(hour - hour )} = \frac{(miles/hour)}{hour} = \frac{miles}{hour^2}$$

Answer 1

La derivada de una función de una variable mide la tasa de cambio instantánea, que tiene las mismas unidades que la tasa de cambio media: $$ \frac{dy}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}. $$ Por lo tanto, las unidades de $\frac{dy}{dt}$ son simplemente las unidades de $y$ dividido por las unidades de $t$ .

Answer 2

Bueno, es realmente la única manera de darle sentido. La velocidad (utilizaré m/s) y la aceleración ( $m/s^2$ ). La razón por la que el cuadrado va en aceleración es para decir literalmente que está ganando una velocidad x m/s cada segundo. O, $x*(m/s)/s=x*m/s^2$ .

Lo único que hace el siguiente nivel es añadir un aspecto "por unidad".

Answer 3

La notación sugiere en cierto modo que las unidades del parámetro deben exponenciarse (y dividirse):

$$ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) $$

$dx^n$ tendrá las unidades del $x$ a la $n^\text{th}$ poder. Pero $d^n$ es sin unidades por lo que, las unidades finales serían las unidades de $f$ dividido por las unidades de $x$ a la $n^\text{th}$ poder. Una forma mejor sería entender qué son los derivados:

$$ \frac{df}{dx} \tilde{} \frac{\Delta f}{\Delta x} \\ \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\frac{df}{dx} \tilde{} \frac{\Delta \left(\frac{\Delta f}{\Delta x}\right)}{\Delta x} \tilde{} \frac{\Delta(\Delta f)}{\Delta(\Delta x)\Delta x} $$

Puedes seguir y ver que cada vez, conseguirás más y más $\Delta x$ términos en la parte inferior, pero la parte superior sólo permanece $\Delta(\Delta(\Delta ... (f)))$ .

Answer 4

Aquí es donde llegué: Si tienes una función de tasa, por ejemplo "millas/hora". Entonces tomas la tasa de cambio de eso "milla por hora, por hora" o $$\frac{\frac{miles}{hour}}{hour} = miles/hour^2$$ . Esto también se refleja en el cálculo de la tasa media de cambio: $$\frac{f(b) - f(a)}{(b-a)} = \frac{(miles/hour - miles/hour)}{(hour - hour )} = \frac{(miles/hour)}{hour} = \frac{miles}{hour^2}$$