Un campo de característica cero es perfecto

Question

¿Cómo se demuestra que un campo F de característica cero es perfecto, o más bien que todo f(x) irreducible en F[x] es separable? Gracias.

Answer 1

Esto es cierto porque todo polinomio irreducible $f(x)$ en $F[x]$ es separable (siempre que la característica de $F$ es cero, o $F^p=F$ para la característica principal $p$ ). En efecto, tenemos $f'(x)\neq 0$ para la derivada, porque $deg(f')=deg(f)-1$ . Aquí hemos utilizado que un polinomio $f(x)$ es inseparable si y sólo si $f'(x)=0$ .