Supongamos que intento pintar una pared disparando al azar (uniformemente) sobre ella con una pistola de pintura. Por término medio, ¿cuántas bolas de pintura serán necesarias para cubrir el 99% de la pared?
La primera bola de pintura es fácil, en promedio pinta N1%=(área de la marca de pintura que queda)/(área de la pared) de la pared.
La segunda bola de pintura se vuelve un poco complicada porque existe la posibilidad de que golpee la zona de la primera bola de pintura o se superponga a ella. El solapamiento parece muy complicado de resolver (especialmente desde los círculos), pero simplifiquémoslo por ahora y digamos que el solapamiento quita la mitad del área de una bola de pintura de media, así que algo como N2% = N1% - (1/2 (área de la bola de pintura)/(área de la pared))/(área de la pared). En otras palabras, por término medio la segunda bola de pintura pintará la misma superficie de la pared que la primera bola de pintura, menos un poco debido a las posibilidades de solapamiento.
En la tercera bola de pintura es cuando la cosa empieza a ponerse muy complicada, ya que hay que tener en cuenta el escenario en el que la segunda bola de pintura se superpone a la primera y el escenario en el que la segunda bola de pintura golpea una parte diferente de la pared.
Después de eso, la cantidad de escenarios de solapamiento que tienes que tener en cuenta parece aumentar exponencialmente, ya que cada bola de pintura podría o no haber golpeado una de las anteriores. Y hay que tener en cuenta todos los escenarios.
¿Hay alguna manera más fácil de resolver este problema analíticamente? o ¿es tan complicado como parece? (Estoy dispuesto a tolerar un montón de suposiciones como el solapamiento de la mitad de las bolas de pintura, ignorando los efectos de los bordes, que mi mujer no me asesine, etc...)
