Secuencias débilmente monótonas

Question

Estoy confundido con la definición de "secuencias débilmente monótonas". ¿Cuál es la correcta?

1. Una secuencia que no es ni creciente ni decreciente
2. Una secuencia que no es creciente ni decreciente

Entonces, si la segunda es la correcta, ¿implica que una secuencia creciente es débilmente monótona? (De forma similar, ¿implica que una secuencia decreciente es débilmente monótona?)

¿Puede alguien ayudarme a entender la definición correcta?

Answer 1

Una secuencia que es débilmente creciente o débilmente decreciente, Débilmente, es decir $a_n\leq a_{n+1}$ (o $a_n\geq a_{n+1}$ ).

Answer 2

Definición: Una secuencia (o función) $a(n)$ es creciente (decreciente) si $n\leq m$ implica $a(n)\leq a(m)$ ( $n\leq m$ implica $a(n)\geq a(m)$ . Una secuencia (o función) monótona es aquella que es creciente o decreciente. A excepción de las secuencias constantes (funciones), son opciones mutuamente excluyentes.

Problemas: Es común dar la definición anterior con desigualdades estrictas ( $<$ o $>$ ) en lugar de las desigualdades débiles ( $\leq$ o $\geq$ ). La diferencia normalmente no importa, pero es una diferencia real. Dado que ambas definiciones son comunes, una forma popular de evitar la ambigüedad es utilizar los términos estricto y débil para especificar si se refiere a la definición con desigualdades estrictas o a la que tiene desigualdades débiles.

Ejemplos:

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\ldots$ es débilmente decreciente, estrictamente decreciente, débilmente monótona y estrictamente monótona. No es creciente.

$1,1,1,1,1,\ldots$ es débilmente creciente, débilmente decreciente y débilmente monótona. No es estrictamente monótona (por tanto, no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente).

En abstracto, si estuviera hablando de secuencias decrecientes, entonces ambas entrarían en la discusión. Si quiero excluir la segunda secuencia como opción, entonces hablaré de secuencias estrictamente decrecientes.

Muchos otros matemáticos sólo se refieren al primer comportamiento cuando hablan de secuencias decrecientes. Dirían específicamente que están hablando de secuencias débilmente decrecientes si quisieran que la última secuencia también entrara en la discusión.

Ambos usos del término son comunes en los libros de texto y, según mi experiencia, no te costará encontrar matemáticos del mismo departamento que discrepen sobre cuál es la definición "correcta".