Cálculo funcional de Borel

Question

Para un operador normal T, tenemos una resolución de la identidad $\int_{{\sigma}(T)} {\lambda}\,dE=T$ . Si $T$ es además compacto, tenemos que $\sum_{n=1}^{{\infty}}{\lambda}_{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$ donde $e_{n}$ es una base ortonormal de vectores propios, etc. Estoy tratando de derivar la segunda de la primera. Si $T$ es compacto entonces su espectro es discreto por lo que la integral se reducirá a una suma pero no estoy seguro de cómo proceder.

Gracias

Answer 1

Una pista.

Si $\sigma(T)=\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb N}\cup\{0\}$ entonces $$ T=\int_{\sigma(T)}\lambda\,dE(\lambda)=\sum_{n=1}^\infty \int_{\{\lambda_n\}}\lambda\,dE(\lambda)=\sum_{n=1}^\infty \lambda_n E(\{\lambda_n\}), $$ donde $E(\{\lambda_n\})$ es la proyección ortogonal al eigespacio de $\lambda_n$ .

Tenga en cuenta que $E=E(U)$ , $U\in\mathscr B(\mathbb C)$ es una medida con valor de proyección.

Answer 2

Supongamos que $T$ es un operador normal compacto en el espacio complejo de Hilbert $X$ . Supongamos que $X$ es de dimensión infinita (el caso de dimensión finita no es difícil.) Entonces se sabe que el espectro $\sigma(T)$ de $T$ consiste en infinitos puntos de $\mathbb{C}$ con $0$ como único punto de agrupación. Sea $P$ sea la resolución espectral de la identidad para $T$ . Entonces $P$ es una función con valor de proyección sobre los subconjuntos de Borel de $\mathbb{C}$ con la propiedad de que $P$ es compatible con $\sigma(T)$ . Es decir, $P(S)=0$ si $S\cap\sigma(T)=\emptyset$ . Si $\{\mu_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ es una enumeración de los distintos puntos de $\sigma(T)$ con $\lambda_{0}=0$ Entonces, porque $S\mapsto P(S)x$ es contablemente aditivo para cada $x$ , $$ x=P(\mathbb{C})x=P(\bigcup_{n=0}^{\infty}\{\mu_{n}\})x=\sum_{n=0}^{\infty}P(\{\mu_{n}\})x. $$ La suma de la derecha es una suma de vectores ortogonales porque $\mu_{n}\ne \mu_{m}$ para $n\ne m$ y porque $P(\{\mu_{n}\})P(\{\mu_{m}\})=0$ para $n\ne m$ .

Dejemos que $f$ sea una función acotada de Borel sobre $\mathbb{C}$ . Una propiedad fundamental de la integral espectral es que, para cualquier subconjunto de Borel $S$ de $\mathbb{C}$ , $$ P(S)\left(\int f(\lambda)dP(\lambda)\right)=\left(\int f(\lambda)dP(\lambda)\right)P(S)=\int_{S}f(\lambda)dP(\lambda). $$ En particular, $$ P(\{\mu_{n})T=TP(\{\mu_{n}\})=\int_{\{\mu_{n}\}}\lambda dP(\lambda) = \mu_{n}\int_{\{\mu_{n}\}}dP(\lambda)=\mu_{n}P(\{\mu_{n}\}). $$ Por lo tanto, $$ Tx = \sum_{n=0}^{\infty}P(\{\mu_{n}\})Tx=\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{n}P(\{\mu_{n}\})x,\;\;\; x \in X. $$ A partir de esto, no es difícil demostrar que $P(\{\mu_{n}\})$ es la proyección de $X$ en $\mathcal{N}(T-\mu_{n}I)$ que es un subespacio de dimensión finita para $\mu_{n}\ne 0$ . Puede omitir $\mu_{0}$ de la suma para $T$ . Si se eligen bases ortonormales para los restantes subespacios se obtiene la suma final en la que el $\lambda_{n}$ son miembros de $\{ \mu_{1},\mu_{2},\ldots\}$ pero repetido según la dimensión de $\mathcal{N}(T-\mu_{n}I)$ y el $e_{n}$ se derivan de esta descomposición. Si $X$ es separable, entonces los vectores propios con valor propio $\mu_{0}=0$ puede incluirse en una suma contable y se puede acabar con una base ortonormal $\{ e_{n}\}$ ; si $X$ no es separable, entonces se consigue una suma contable omitiendo $P(\{\mu_{0}\})$ En ese caso, no se obtiene una base $\{ e_{n}\}$ si quieres quedarte con una suma contable (lo cual puedes hacer.)

Answer 3

Esto puede ser más fácil usando la formulación del teorema espectral usando operadores de multiplicación. Es fácil ver que un operador de multiplicación no puede ser compacto a menos que su espectro sea casi discreto. Véase el libro de Arveson sobre teoría espectral para más detalles. (Él utiliza el teorema espectral general para obtener el resultado relativamente fácil para operadores normales compactos por fuerza bruta precisamente como en esta pregunta, salvo que prefiere evitar las medidas espectrales).

En realidad, parece más fácil empezar con la medida espectral (puesto que ya se ha hecho algo de teoría de la medida desordenada). Extender la medida espectral medida espectral $E$ trivialmente a todo el plano complejo. Consideremos un rectángulo rectángulo acotado $M$ que no contenga $0$ en el plano complejo. $E(M)$ debe ser de dimensión finita, ya que de lo contrario el operador restringido al rango de $E(M)$ está muy cerca de la multiplicación escalar en un espacio de dimensión infinita para ser compacto. Dividir el rectángulo en cuartos e iterar para demostrar que $E(M)$ es en realidad una suma finita suma de dimensiones finitas $E({x_i})$ sobre los puntos $x_i$ en $M$ . Montar $E$ sobre todo el plano de $E(M)$ sobre rectángulos adecuados, más $E({0})$ . Todo es como en el caso de las dimensiones finitas, excepto $0$ puede ser un punto límite y $E(0)$ puede tener una dimensión infinita.

He omitido algunos detalles para mayor claridad. Probablemente es mejor pensar en la como la suma de suboperadores restringidos a cada $E(M)$ . Estos son sólo operadores normales compactos de dimensión finita. De hecho, el argumento de subdivisión anterior (que inventé para evitar la teoría de la medida) puede ser sustituido por una aplicación del teorema espectral finito. La convergencia para sumar los suboperadores debe definirse y comprobarse cuidadosamente, pero es la misma que para sumar los operadores unidimensionales en la expansión del vector propio (la compacidad permite la convergencia de la norma, aunque el teorema espectral general sólo da una convergencia débil).