Conjetura de Ore para grupos perfectos

Question

Ahora sabemos que la conjetura de Ore es un teorema. ¿Alguien conoce un contraejemplo a la conjetura de Ore para grupos perfectos? Creo que debería haber uno, pero no tengo un contraejemplo. Gracias.

Answer 1

El contraejemplo al que se refiere el comentario de NAME_IN_CAPS es la extensión dividida del llamado módulo de permutación eliminado para $A_5$ en ${\mathbb F}_2$ . es decir, el $4$ -componente irreducible de la $5$ -módulo de permutaciones de dimensiones. Este grupo tiene $960$ elementos, sólo $840$ de los cuales son conmutadores.

He aquí una receta general para construir ejemplos de grupos perfectos en los que, para cualquier $k$ Hay elementos de $[G,G]$ que no son producto de como máximo $k$ conmutadores.

Se puede ilustrar utilizando el otro $4$ -módulo irreducible de una dimensión $M$ para $A_5$ en ${\mathbb F}_2$ es decir, el módulo no absolutamente irreducible que surge del isomorfismo $A_5 \cong {\rm SL}(2,4)$ .

Los cálculos muestran que el producto tensorial $M \otimes M$ se traslada a $I \oplus I$ , donde $I$ es el módulo trivial. Así, para cualquier $n \ge 1$ el producto semidirecto $H_n$ de $M^n$ por $A_5$ tiene una extensión central perfecta $G_n$ con centro abeliano elemental de orden $2^{n(n-1)/2}$ porque podemos obtener un $2^2$ para cada par de factores directos de $M^n$ .

(El multiplicador de Schur completo de $H_n$ es mayor y tiene la estructura $2 \times 4^{2n} \times 2^{n(n-1)/2}$ .)

Ahora $|H_n| = 2^{4n} \times 60$ y $|G_n| = 2^{n(n-1)/2} \times |H_n|$ . Dado que un conmutador $[x,y]$ no se modifica al multiplicar $x,y$ por elementos centrales, $G_n$ tiene como máximo $|H|^2$ conmutadores distintos, y hay a lo sumo $|H|^{2k}$ elementos de $G_n$ que son productos de como máximo $k$ conmutadores. Esto es menos que $|G_n|$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .

Por supuesto, podemos realizar construcciones similares para otros módulos de otros grupos simples.

Answer 2

El contraejemplo descrito por Derek Holt se puede comprobar fácilmente con GAP de la siguiente manera:

gap> G := Image(IsomorphismPermGroup(PerfectGroup(960,2)));
A5 2^4'
gap> CommutatorLength(G); # > 1 => there are elements which are not commutators 
2
gap> GeneratorsOfGroup(G); # permutations generating the group
[ (1,2)(3,6)(5,8)(9,10), (2,4,5)(6,7,9), (1,3)(4,7)(5,9)(8,10),
  (1,3)(2,6)(5,9)(8,10), (1,3)(2,6)(4,7)(8,10), (2,6)(4,7)(5,9)(8,10) ]
gap> noncommutators := Difference(AsList(G),Set(Tuples(AsList(G),2),Comm));;
gap> Length(noncommutators);
120
gap> noncommutators; # the entire list of non-commutators
[ (1,2)(3,6)(4,5,7,9)(8,10), (1,2)(3,6)(4,7)(5,8,9,10),
  (1,2)(3,6)(4,7)(5,10,9,8), (1,2)(3,6)(4,8,7,10)(5,9),
  (1,2)(3,6)(4,9,7,5)(8,10), (1,2)(3,6)(4,10,7,8)(5,9),
  (1,2,3,6)(4,5)(7,9)(8,10), (1,2,3,6)(4,7)(5,8)(9,10),
  (1,2,3,6)(4,7)(5,10)(8,9), (1,2,3,6)(4,8)(5,9)(7,10),
  (1,2,3,6)(4,9)(5,7)(8,10), (1,2,3,6)(4,10)(5,9)(7,8),
  (1,3)(2,4)(5,8,9,10)(6,7), (1,3)(2,4)(5,10,9,8)(6,7),
  (1,3)(2,4,6,7)(5,8)(9,10), (1,3)(2,4,6,7)(5,10)(8,9),
  (1,3)(2,5)(4,8,7,10)(6,9), (1,3)(2,5,6,9)(4,8)(7,10),
  (1,3)(2,5)(4,10,7,8)(6,9), (1,3)(2,5,6,9)(4,10)(7,8),
  (1,3)(2,7,6,4)(5,8)(9,10), (1,3)(2,7,6,4)(5,10)(8,9),
  (1,3)(2,7)(4,6)(5,8,9,10), (1,3)(2,7)(4,6)(5,10,9,8),
  (1,3)(2,8,6,10)(4,5)(7,9), (1,3)(2,8)(4,5,7,9)(6,10),
  (1,3)(2,8)(4,9,7,5)(6,10), (1,3)(2,8,6,10)(4,9)(5,7),
  (1,3)(2,9,6,5)(4,8)(7,10), (1,3)(2,9)(4,8,7,10)(5,6),
  (1,3)(2,9,6,5)(4,10)(7,8), (1,3)(2,9)(4,10,7,8)(5,6),
  (1,3)(2,10,6,8)(4,5)(7,9), (1,3)(2,10)(4,5,7,9)(6,8),
  (1,3)(2,10)(4,9,7,5)(6,8), (1,3)(2,10,6,8)(4,9)(5,7),
  (1,4)(2,5,6,9)(3,7)(8,10), (1,4,3,7)(2,5)(6,9)(8,10),
  (1,4)(2,6)(3,7)(5,8,9,10), (1,4)(2,6)(3,7)(5,10,9,8),
  (1,4,3,7)(2,6)(5,8)(9,10), (1,4,3,7)(2,6)(5,10)(8,9),
  (1,4)(2,8,6,10)(3,7)(5,9), (1,4,3,7)(2,8)(5,9)(6,10),
  (1,4)(2,9,6,5)(3,7)(8,10), (1,4,3,7)(2,9)(5,6)(8,10),
  (1,4)(2,10,6,8)(3,7)(5,9), (1,4,3,7)(2,10)(5,9)(6,8),
  (1,5,3,9)(2,4)(6,7)(8,10), (1,5)(2,4,6,7)(3,9)(8,10),
  (1,5)(2,6)(3,9)(4,8,7,10), (1,5,3,9)(2,6)(4,8)(7,10),
  (1,5)(2,6)(3,9)(4,10,7,8), (1,5,3,9)(2,6)(4,10)(7,8),
  (1,5)(2,7,6,4)(3,9)(8,10), (1,5,3,9)(2,7)(4,6)(8,10),
  (1,5)(2,8,6,10)(3,9)(4,7), (1,5,3,9)(2,8)(4,7)(6,10),
  (1,5)(2,10,6,8)(3,9)(4,7), (1,5,3,9)(2,10)(4,7)(6,8),
  (1,6,3,2)(4,5)(7,9)(8,10), (1,6,3,2)(4,7)(5,8)(9,10),
  (1,6,3,2)(4,7)(5,10)(8,9), (1,6,3,2)(4,8)(5,9)(7,10),
  (1,6,3,2)(4,9)(5,7)(8,10), (1,6,3,2)(4,10)(5,9)(7,8),
  (1,6)(2,3)(4,5,7,9)(8,10), (1,6)(2,3)(4,7)(5,8,9,10),
  (1,6)(2,3)(4,7)(5,10,9,8), (1,6)(2,3)(4,8,7,10)(5,9),
  (1,6)(2,3)(4,9,7,5)(8,10), (1,6)(2,3)(4,10,7,8)(5,9),
  (1,7,3,4)(2,5)(6,9)(8,10), (1,7)(2,5,6,9)(3,4)(8,10),
  (1,7,3,4)(2,6)(5,8)(9,10), (1,7,3,4)(2,6)(5,10)(8,9),
  (1,7)(2,6)(3,4)(5,8,9,10), (1,7)(2,6)(3,4)(5,10,9,8),
  (1,7,3,4)(2,8)(5,9)(6,10), (1,7)(2,8,6,10)(3,4)(5,9),
  (1,7,3,4)(2,9)(5,6)(8,10), (1,7)(2,9,6,5)(3,4)(8,10),
  (1,7,3,4)(2,10)(5,9)(6,8), (1,7)(2,10,6,8)(3,4)(5,9),
  (1,8,3,10)(2,4)(5,9)(6,7), (1,8)(2,4,6,7)(3,10)(5,9),
  (1,8,3,10)(2,5)(4,7)(6,9), (1,8)(2,5,6,9)(3,10)(4,7),
  (1,8,3,10)(2,6)(4,5)(7,9), (1,8)(2,6)(3,10)(4,5,7,9),
  (1,8)(2,6)(3,10)(4,9,7,5), (1,8,3,10)(2,6)(4,9)(5,7),
  (1,8)(2,7,6,4)(3,10)(5,9), (1,8,3,10)(2,7)(4,6)(5,9),
  (1,8)(2,9,6,5)(3,10)(4,7), (1,8,3,10)(2,9)(4,7)(5,6),
  (1,9,3,5)(2,4)(6,7)(8,10), (1,9)(2,4,6,7)(3,5)(8,10),
  (1,9,3,5)(2,6)(4,8)(7,10), (1,9)(2,6)(3,5)(4,8,7,10),
  (1,9,3,5)(2,6)(4,10)(7,8), (1,9)(2,6)(3,5)(4,10,7,8),
  (1,9)(2,7,6,4)(3,5)(8,10), (1,9,3,5)(2,7)(4,6)(8,10),
  (1,9,3,5)(2,8)(4,7)(6,10), (1,9)(2,8,6,10)(3,5)(4,7),
  (1,9,3,5)(2,10)(4,7)(6,8), (1,9)(2,10,6,8)(3,5)(4,7),
  (1,10,3,8)(2,4)(5,9)(6,7), (1,10)(2,4,6,7)(3,8)(5,9),
  (1,10,3,8)(2,5)(4,7)(6,9), (1,10)(2,5,6,9)(3,8)(4,7),
  (1,10,3,8)(2,6)(4,5)(7,9), (1,10)(2,6)(3,8)(4,5,7,9),
  (1,10)(2,6)(3,8)(4,9,7,5), (1,10,3,8)(2,6)(4,9)(5,7),
  (1,10)(2,7,6,4)(3,8)(5,9), (1,10,3,8)(2,7)(4,6)(5,9),
  (1,10)(2,9,6,5)(3,8)(4,7), (1,10,3,8)(2,9)(4,7)(5,6) ]

Answer 3

Incluso hay grupos casi simples (aunque muy pocos) que contienen no conmutadores: Liebeck, O'Brien y Tiep han demostrado que los grupos de cobertura de $A_{6}, A_{7}, L_{3}(4)$ y $U_{4}(3)$ (y de ningún otro grupo simple no abeliano) contienen no conmutadores.

Answer 4

Un viejo artículo mío (Amer. Math. Monthly 1977) da una manera fácil de construir grupos donde no todos los elementos del subgrupo derivado son un conmutador. En particular, si $U$ es un grupo abeliano suficientemente grande y $H$ es un grupo simple, entonces el subgrupo derivado de la corona producto de $U$ por $H$ es perfecta y contiene no conmutadores.