¿Por qué la evolución del tiempo es unitaria?

Question

¿La razón por la que el operador de evolución temporal es unitario se basa en argumentos puramente físicos, es decir, que los procesos físicos que experimenta un sistema aislado no deberían depender de ningún instante concreto del tiempo (homogeneidad del tiempo); así, dos experimentadores que realicen el mismo experimento partiendo del mismo estado inicial, pero en momentos diferentes, deberían tener la misma amplitud de probabilidad para ese estado? ¿O también hay algún argumento matemático?

Además, ¿la razón por la que el operador de evolución temporal es lineal está implícita en el principio de superposición (como un estado arbitrario puede expresarse como una combinación lineal de estados base, el operador debería actuar linealmente, ya que, de lo contrario, el estado en su conjunto evolucionaría de forma diferente a la superposición de estados con la que se representó inicialmente)?

Answer 1

La evolución del tiempo es la exponencial del hamiltoniano, ya que el hamiltoniano es el generador de la traslación del tiempo (equivalentemente: la energía es la carga de la traslación del tiempo).

Como observable físico correspondiente a la energía, el hamiltoniano tiene que ser autoadjunto.

El exponencial de un operador autoadjunto es unitario por Teorema de Stone .

Un argumento "físico" es que la evolución temporal debería preservar cualquier normalización que hayamos elegido para nuestros estados (porque la probabilidad de encontrar el estado $\psi$ en $\phi$ en $t_0$ debería ser lo mismo que encontrar el estado evolucionado $\psi$ en el estado evolucionado $\phi$ en $t_1$ ), es decir, debe preservar el producto interno, es decir, debe ser unitario.

Answer 2

Es una consecuencia de la conservación de la probabilidad total, es decir, que $1=\langle a | a \rangle,$ ser $|a\rangle$ el estado en el que se encuentra su sistema. Como el tiempo hace que el estado evolucione, el estado final también debe normalizarse de esa manera, para que la probabilidad de encontrarlo en el estado en que estará sea uno. Un fácil cálculo matemático nos lleva a que el adjunto de $U$ veces $U$ ( $U$ es el operador de evolución temporal ) debe conservar las distancias. De ahí, que deba conservar cualquier producto escalar, y de ahí la unitariedad. Puedes ver esto detallado en el vídeo de Leonard Susskind, disponible gratuitamente, de su conferencia 9 sobre los enredos cuánticos.