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Otra pregunta laica sobre agujeros negros, sacando un extremo de una cuerda de detrás del horizonte de sucesos

No hace falta una larga explicación,

¿Qué pasaría si dejara caer un extremo de una cuerda más allá del horizonte de sucesos de un agujero negro mientras sostengo el otro extremo?

¿Sería capaz de sacarlo? ¿Se sentiría la cuerda extremadamente (¿infinitamente?) pesada?

9voto

¿Qué pasaría si dejara caer un extremo de una cuerda más allá del el horizonte de sucesos de un agujero negro mientras sostengo el otro extremo?

Como siempre, esto es en el contexto de un agujero negro de Schwarzschild.

Primero, fuera del horizonte, un objeto con constante la coordenada radial "siente" una constante adecuado la aceleración, es decir, un acelerómetro (piense en una balanza de peso) fijado al objeto da un valor constante y distinto de cero.

En segundo lugar, la aceleración propia aumenta sin límite a medida que la coordenada radial se acerca al valor del radio de Schwarzschild.

Ahora, imagina que hay es una cuerda que se extiende desde un radio fijo hacia el interior del horizonte. Pero el peso de una sección de cuerda aumenta sin límites a medida que uno se acerca al horizonte. ¿Ves el problema esencial aquí?

6voto

JRT Puntos 97

Esto no es exactamente una respuesta a tu pregunta, porque tal y como está tu pregunta no se puede responder, pero pensé en publicar esto porque la respuesta realmente me sorprendió.

En primer lugar, la razón por la que no se puede responder a tu pregunta es que nunca se puede meter la cuerda por debajo del horizonte de sucesos. Desde la perspectiva de un observador inmóvil con respecto al agujero negro, cualquier cosa que se deje caer en él tarda un tiempo infinito en alcanzar siquiera el horizonte de sucesos, y mucho menos en cruzarlo. Así que no podrías encontrarte sujetando un extremo de una cuerda que tuviera su otro extremo por debajo del agujero negro, ni siquiera si esperaras un tiempo infinito.

Pero siempre que el extremo inferior de la cuerda esté por encima del horizonte de sucesos, entonces es perfectamente razonable preguntarse qué fuerza se siente al sujetar el extremo de la cuerda, y también es perfectamente razonable preguntarse qué ocurre con esta fuerza en el límite de alcanzar el horizonte de sucesos. Así que hagamos esto.

Pero la fuerza en una cuerda es difícil de calcular porque la masa se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud. Para simplificar las cosas, sustituye la cuerda por una masa $m$ colgando del extremo de una cuerda sin peso. Con esta configuración, calcular la fuerza es fácil.

Supongamos que la masa $m$ está a una distancia $r$ desde el centro de un agujero negro de masa $M$ . Respuesta de Twistor59 a la pregunta ¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? nos dice que en relación con un observador de la cáscara que se cierne a una distancia $r$ la aceleración gravitacional es:

$$ a_{shell} = \frac{GM}{r^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} $$

donde $r_s$ es el radio del horizonte de sucesos. Pero con respecto a ti, que estás a una gran distancia del agujero negro, el tiempo del observador de la cáscara se dilata por un factor de:

$$ t_r = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} $$

Y la aceleración que se mide lejos del agujero negro es $a_{shell}$ dividido por este factor al cuadrado así:

$$\begin{align} a &= \frac{GM}{r^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} \left( 1 - \frac{r_s}{r} \right) \\ &= \frac{GM}{r^2} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \end{align}$$

Y la fuerza es simplemente la aceleración multiplicada por la masa de su peso $m$ :

$$\begin{align} F &= \frac{GMm}{r^2} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \\ &= F_N \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \end{align}$$

donde $F_N$ es la fuerza predicha por la gravedad newtoniana, es decir, la fuerza que se mediría en ausencia de efectos realistas.

Así que la fuerza que se sentiría es en realidad menor de lo que se esperaría de la gravedad newtoniana y, de hecho, la fuerza llega a cero a medida que el peso se acerca al horizonte de sucesos. Para ilustrar esto, he graficado la fuerza que sentirías en comparación con la fuerza predicha por la ecuación de Newton:

Force on weight

La fuerza está en unidades de $GMm$ . A distancias de alrededor de cuatro veces el radio del horizonte de sucesos y mayores, la fuerza es similar a la calculada por la ecuación de Newton, ya que a medida que el peso se acerca al horizonte de sucesos, la fuerza que se siente alcanza un máximo de alrededor de $1.4r_s$ y luego cae a cero en el horizonte.

5voto

Eric Wang Puntos 101

Cuando se habla de agujeros negros, hay que tener en cuenta la dilatación del tiempo. Al bajar una cuerda hacia un horizonte de sucesos, se verá que el tiempo para el extremo de la cuerda se ralentiza. No podrás decir en algún momento: "Ahora la cuerda ha cruzado el horizonte de sucesos", porque tendrías que esperar indefinidamente.

Por otro lado, la cuerda (o algún observador que hayas colocado allí) te mirará y verá que envejeces muy rápido. Entonces, justo antes de cruzar el horizonte de sucesos, será testigo de toda la vida (probablemente infinita) del universo.

Hay que tener en cuenta que, debido al desplazamiento gravitacional, el final de la cuerda no será visible a simple vista. Por el contrario, el observador que se encuentre en el extremo de la cuerda verá un desplazamiento azul, por lo que cerca del horizonte de sucesos, si nada lo mata, todavía hay rayos gamma de la radiación de fondo.

2voto

Tengo un cálculo explícito de la tensión en la cuerda en la sección 8.1, ejemplo 5 de mi libro de RG ("Una cuerda colgando en un espaciotiempo de Schwarzschild"), que es gratuito en línea: http://www.lightandmatter.com/genrel/ . Me limitaré a esbozar aquí los principales resultados. Supongamos que tenemos un cubo colgando del extremo de una cuerda en el espaciotiempo de Schwarzshcild. La tensión $T$ en la cuerda obedece a la ecuación diferencial

$$0=T'+(f'/f)T-(f'/f)\mu,$$

donde los primos denotan la diferenciación con respecto a la coordenada de Schwarzschild $r$ , $f=\sqrt(1-2m/r)$ y $\mu$ es la masa por unidad de longitud. Obtenemos un resultado finito para $\lim_{r\rightarrow\infty}T$ incluso cuando el cubo se acerca arbitrariamente al horizonte. (La solución en este caso es simplemente $T = T_\infty /f$ , donde $T_\infty$ es la tensión en r = ∞). Sin embargo, esto es engañoso sin la advertencia de que para μ < T , la velocidad de las ondas transversales en la cuerda es mayor que c, lo que no es posible para ninguna forma conocida de materia - violaría la condición de energía nula. Para formas realistas de materia, la cuerda se romperá por encima del horizonte.

Esto tiene sentido porque el exterior del agujero negro está causalmente desconectado del interior.

0voto

masher Puntos 1224

Para no caer directamente, habría que orbitar el agujero negro muy rápidamente, de hecho cerca de la velocidad de la luz. Por definición el horizonte de sucesos es cuando ni siquiera la luz puede escapar mientras orbita. ( Editar: como John Rennie comentaba, flotar en un cohete también es una opción)

Así que imagina que estás zumbando a casi la velocidad de la luz. Bajas tu cuerda de fuerza ilimitada hacia el horizonte de sucesos... espera, estás en una órbita que compensa la gravedad... así que tendrías que lanzarla.

Editar:

  • O imagina que estás flotando en un cohete súper avanzado de alta potencia...
  • O imagina un andamio gigante alrededor de todo ( Mike Dunlavey )

A medida que el extremo de la cuerda se acerca al horizonte de sucesos, empezaría a ser arrastrado por la gravedad. A medida que se acerque más y más, la fuerza aumentará sin límite. Así es, no hay cantidad de fuerza que pueda hacer que la cuerda toque el horizonte de sucesos y se mantenga allí. En pocas palabras, sería arrastrada hacia adentro.

Ni siquiera estoy seguro de cómo explicar las distorsiones espaciales debidas a la relatividad en esa órbita. Pero de todas formas esa es otra cuestión. ( Editar: Y John Rennie mencionó en los comentarios que dicha órbita tendría que estar a 3x del horizonte de sucesos para ser estable).

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