Esto no es exactamente una respuesta a tu pregunta, porque tal y como está tu pregunta no se puede responder, pero pensé en publicar esto porque la respuesta realmente me sorprendió.
En primer lugar, la razón por la que no se puede responder a tu pregunta es que nunca se puede meter la cuerda por debajo del horizonte de sucesos. Desde la perspectiva de un observador inmóvil con respecto al agujero negro, cualquier cosa que se deje caer en él tarda un tiempo infinito en alcanzar siquiera el horizonte de sucesos, y mucho menos en cruzarlo. Así que no podrías encontrarte sujetando un extremo de una cuerda que tuviera su otro extremo por debajo del agujero negro, ni siquiera si esperaras un tiempo infinito.
Pero siempre que el extremo inferior de la cuerda esté por encima del horizonte de sucesos, entonces es perfectamente razonable preguntarse qué fuerza se siente al sujetar el extremo de la cuerda, y también es perfectamente razonable preguntarse qué ocurre con esta fuerza en el límite de alcanzar el horizonte de sucesos. Así que hagamos esto.
Pero la fuerza en una cuerda es difícil de calcular porque la masa se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud. Para simplificar las cosas, sustituye la cuerda por una masa $m$ colgando del extremo de una cuerda sin peso. Con esta configuración, calcular la fuerza es fácil.
Supongamos que la masa $m$ está a una distancia $r$ desde el centro de un agujero negro de masa $M$ . Respuesta de Twistor59 a la pregunta ¿Cuál es la ecuación del peso a través de la relatividad general? nos dice que en relación con un observador de la cáscara que se cierne a una distancia $r$ la aceleración gravitacional es:
$$ a_{shell} = \frac{GM}{r^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} $$
donde $r_s$ es el radio del horizonte de sucesos. Pero con respecto a ti, que estás a una gran distancia del agujero negro, el tiempo del observador de la cáscara se dilata por un factor de:
$$ t_r = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} $$
Y la aceleración que se mide lejos del agujero negro es $a_{shell}$ dividido por este factor al cuadrado así:
$$\begin{align} a &= \frac{GM}{r^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}} \left( 1 - \frac{r_s}{r} \right) \\ &= \frac{GM}{r^2} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \end{align}$$
Y la fuerza es simplemente la aceleración multiplicada por la masa de su peso $m$ :
$$\begin{align} F &= \frac{GMm}{r^2} \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \\ &= F_N \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} \end{align}$$
donde $F_N$ es la fuerza predicha por la gravedad newtoniana, es decir, la fuerza que se mediría en ausencia de efectos realistas.
Así que la fuerza que se sentiría es en realidad menor de lo que se esperaría de la gravedad newtoniana y, de hecho, la fuerza llega a cero a medida que el peso se acerca al horizonte de sucesos. Para ilustrar esto, he graficado la fuerza que sentirías en comparación con la fuerza predicha por la ecuación de Newton:
La fuerza está en unidades de $GMm$ . A distancias de alrededor de cuatro veces el radio del horizonte de sucesos y mayores, la fuerza es similar a la calculada por la ecuación de Newton, ya que a medida que el peso se acerca al horizonte de sucesos, la fuerza que se siente alcanza un máximo de alrededor de $1.4r_s$ y luego cae a cero en el horizonte.