Dejemos que $X$ sea un espacio vectorial topológico. Un subconjunto $E$ es acotado si a todo conjunto abierto $V$ que contiene $0$ en $X$ corresponde un número $s>0$ tal que $E\subseteq tV$ por cada $t > s$ . ¿Se alteraría el contenido de esta definición se alteraría si se exigiera simplemente que a cada conjunto abierto $V$ que contiene $0$ corresponde algunos $t>0$ tal que $E\subseteq tV$ ?
Respuesta
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Las dos definiciones son equivalentes.
El punto clave es que cada barrio de $0$ contiene un barrio $V$ de $0$ que también es equilibrado es decir $\alpha V\subset V$ para cada escalar $\alpha$ con $\vert\alpha\vert\leq 1$ (véase, por ejemplo, el capítulo 1 del Análisis Funcional de Rudin). De ello se desprende que en cualquiera de las dos definiciones, uno puede limitarse a las vecindades equilibradas de $0$ . Ahora bien, si $V$ es equilibrada y $t>0$ entonces $tV\subset t'V$ por cada $t'\geq t$ (porque $tV=\alpha\, t'V$ con $\alpha=t/t'\leq 1$ y $t'V$ también está equilibrada). Esto demuestra que la segunda definición implica la primera, y por tanto es equivalente a ella.
