Subgrupo conmutador con grupo factorial abeliano

Question

Estoy tratando de mostrar que si $Y$ es el subgrupo conmutador de un grupo $G$ (se supone que es normal en $G$ con $G/Y$ Abeliano), y $N$ es un subgrupo con esas mismas propiedades, entonces $Y$ es un subgrupo de $N$ .

Mi enfoque ha sido tratar de mostrar que $\forall y\in Y$ , $yN = N \Leftrightarrow xwx^{-1}w^{-1}N=N$ , donde $y=xwx^{-1}w^{-1}$ para algunos $x,w\in G$ . Entonces tendría $y\in N$ .

¿Es este el enfoque correcto? Me estoy atascando.

Answer 1

Supongamos que $Y$ no estaban contenidas en $N$ entonces hay un conmutador $aba^{-1}b^{-1} \in Y$ no en $N$ . Consideremos ahora el conmutador de $a + N$ y $b + N$ en el grupo cociente $G/N$ :

\begin{align*} (a+N)(b+N)(a+N)^{-1}(b+N)^{-1} &= aba^{-1}b^{-1}+N \ne N \end{align*}

desde $aba^{-1}b^{-1} \notin N$ . De ello se desprende que $G/N$ no es abeliano, ya que hay un conmutador no identitario.