Límite de $\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\log(x)}\right)$

Question

Dado el límite: $$ \lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\log(x)}\right) = \alpha $$

Encuentre el valor de $\alpha$

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No me entra en la cabeza cómo simplificar el nominador.

¿Alguien cree que esto debería ser fácil?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que se $x=1+y$ con $y\to0$ entonces

$$\lim\limits_{x\to 1}\left(\frac{\sqrt{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\log(x)}\right) = \lim\limits_{y\to 0}\left(\frac{\sqrt{y^2+4y+8-8\sqrt{1+y}}}{\log(1+y)}\right)$$

y observe que

• $\sqrt{1+y}=1+\frac12 y-\frac18y^2 +o(y^2)$
• $\log(1+y)=y+o(y)$

entonces

$$\frac{\sqrt{y^2+4y+8-8\sqrt{1+y}}}{\log(1+y)}=\frac{\sqrt{y^2+4y+8-8-4y+y^2+o(y^2)}}{y+o(y)}=\frac{\sqrt{2y^2+o(y^2)}}{y+o(y)}=\frac{|y|\sqrt{2+o(1)}}{y+o(y)}=\frac{|y|}{y}\frac{\sqrt{2+o(1)}}{{1+o(1)}}$$

por lo que el límite no existe.

Answer 2

En cuanto al numerador, podemos reescribirlo de la siguiente manera $$x^2+2x+5-8\sqrt{x}=(x+2\sqrt{x}+5)(x-2\sqrt{x}+1)=(x+2\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-1)^2.$$ Además, $\log(x)=2\log(1+(\sqrt{x}-1))$ . Por lo tanto, $$\frac{\sqrt{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\log(x)}= \frac{\sqrt{x+2\sqrt{x}+5}\cdot |\sqrt{x}-1|}{2\log(1+(\sqrt{x}-1))}.$$ Recordemos que $\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$ y considerar por separado $x\to 1^+$ y $x\to 1^-$ (el límite dado para $x\to 1$ no existe).

¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

Una pista: El límite no existe como $x \to 1^- ln(x) <0$ y $x \to 1^+ ln(x) >0$ y el numerador es positivo. En este caso, como se ha señalado en los comentarios de Rey Tut si R.H.L. llega a ser 0 entonces el límite existe.
Para encontrar a R.H.L.
$$\lim\limits_{x\to 1^+}\left(\frac{\sqrt{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\sqrt{\log^2(x)}}\right) = \alpha \implies \lim\limits_{x\to 1^+}\left(\frac{{x^2+2x+5-8\sqrt{x}}}{\log^2(x)}\right) = \alpha^2$$ Ahora aplica la regla del hospital L.

Answer 4

Para simplificar, intente utilizar $x-1 = t$ y $t\to 0$ en el límite:

$$\lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{(1+t)^2+2(1+t)+5-8\sqrt{1+t}}}{\ln(1+t)}\\ =\lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{t^2+4t+8(1-\sqrt{1+t})}}{\ln(1+t)}\\ = \lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{t^2+4t-8\tfrac{t}{1+\sqrt{1+t}}}}{\ln(1+t)}$$

Ahora divide por $t$ en el numerador y el denominador y racionalizar, además de utilizar los límites estándar:

Para $t\to 0^+$ podemos tomar $t$ = $\sqrt{t^2}$

$$ \lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{1+\tfrac{4(\sqrt{1+t}-1)}{t(1+\sqrt{1+t})}}}{\tfrac{\ln(1+t)}{t}} = \lim_{t\to 0} \frac{\sqrt{1+\tfrac{4t}{t(1+\sqrt{1+t})^2}}}{\tfrac{\ln(1+t)}{t}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$

para obtener el límite como $\sqrt{2}$

Pero para $t\to 0^-$ , $\sqrt{t^2} = -t$ por lo que el límite será $-\sqrt 2$

Así, $LHL \neq RHL$ y el límite no existe.