Demuestre que G es isomorfo a C4

Question

Sé que el orden de G es 4, pero no es el grupo Klein-four porque no todos los elementos tienen orden 2. Como G tiene elementos de orden 4 es cíclico. También sé por definición que el orden de C4 es 4.

Pero no sé a dónde ir desde aquí para demostrar que son isomorfos. Cualquier pista o consejo sería genial, ¡gracias!

Answer 1

Una pista. Los elementos $i^0, i^1, i^2, i^3$ son distintos por parejas.

Answer 2

Mapear un generador de $G$ , digamos que $i$ o $-i$ en un generador de $C_4=(\mathbf Z/4\mathbf Z, +)$ , digamos que $1$ o $3+4\mathbf Z$ .

Otro enfoque : los elementos de $G$ puede escribirse como $\Bigl\{\mathrm e^{\tfrac{ik\pi}2}\mid k\in\mathbf Z\Bigr\}$ . Demuestre que para cada elemento de $G$ los valores correspondientes de $k$ son congruentes módulo a módulo $4$ y deducir que el mapa $\mathbf Z/4\mathbf Z\longrightarrow G$ , $x=k+\mathbf Z\longmapsto\mathrm e^{\tfrac{ik\pi}2}$ está bien definida y comprobar que es un isomorfismo.

Answer 3

Básicamente has terminado.

Hasta el isomorfismo sólo hay dos grupos de orden 4, $C_4$ y $C_2 \times C_2$ . En $C_2 \times C_2$ Cualquier elemento es autoinverso, lo que no es el caso de su grupo. Así que debe ser isomorfo a $C_4$ .

Además, lo que hiciste es igualmente correcto: mostrar que es cíclico sería suficiente para mostrar que es isomorfo a $C_4$ .