Un argumento de prueba por contradicción respecto a la convergencia uniforme (explique un texto, por favor)

Question

Aquí $P:H \to \mathcal{K}$ es un operador de proyección de un espacio de Hilbert sobre un subconjunto convexo cerrado.

No sigo la hipótesis del argumento de la prueba por contradicción para la convergencia uniforme (todo lo demás está bien) . ¿Podría alguien decirme cómo se forma exactamente la hipótesis de la contradicción?

No entiendo muy bien por qué la última cantidad es mayor o igual a $\epsilon$ para todos $n$ . ¿No es el punto la uniformidad de la convergencia de $h$ -- para un argumento de contradicción, no es $o(h_n)/\lVert h_n\rVert$ se supone que sigue llegando a cero pero a un ritmo que depende de la secuencia $h_n$ ?

Answer 1

Intentemos formalizar un poco el lema 4.5, para poder deducir más fácilmente la hipótesis del argumento de contradicción.

El lema afirma que

• para todos los conos localmente compactos de incrementos $S_K(x)$ y
• para todas las secuencias nulas h_n

tenemos que $o(h)/\|h\|$ también llega a cero. Esto es lo que se entiende por uniformidad del límite, es decir, no importa qué cono y qué secuencia nula se elija, siempre se acabará con el comportamiento de convergencia deseado de $P_K$ .

Supongamos ahora, por si acaso, que la convergencia no es uniforme en el sentido anterior. Entonces,

• existe un cono localmente compacto de incrementos $S_K(x)$ y
• existe una secuencia nula h_n

tal que $o(h)/\|h\|$ no llega a cero, es decir, existe un $\varepsilon > 0$ tal que $\|P_K(x + h_n) - x - h_n\| / \|h_n\| \geq \varepsilon$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .