Mostrar que $3P_{\lceil n \rceil}-2=\sum_{k=1}^{A}\left(4-\left\lceil \frac{\pi(k)}{n}\right\rceil^2\right) $

Question

Propusimos una fórmula para calcular el enésimo número primo utilizando la función de conteo de números primos.

Donde $\lfloor x\rfloor$ es la función piso y $\lceil x\rceil$ es la función techo.

$\pi(k)$ es la función de conteo de números primos y $ P_n $ es el enésimo número primo.

Sea $A=\lfloor 2n\ln(n+1)\rfloor$

Donde $n \ge 0.9$ (n DEBE ser un número decimal). [por qué n debe ser un número decimal no lo sé, dejaremos que los autores nos expliquen la razón]

Fórmula para calcular el enésimo primo,

$$ 3P_{\lceil n \rceil}-2=\sum_{k=1}^{A}\left(4-\left\lceil \frac{\pi(k)}{n}\right\rceil^2\right) $$

Answer 1

Dusart demostró que $\pi(n) \geq n (\log n + \log \log n - 1)$ para $n \geq 2$. A partir de ahí no es demasiado difícil calcular que para cualquier $n \geq 2$, $$\pi(2n) \geq 2n (\log 2n + \log \log 2n - 1) \geq 2n( \log n + \log \log 2n - 0.307) > A.$$

En particular (ignorando valores muy pequeños de $n$), para todos los valores de $k$ en la suma, $\pi(k) < 2n$, lo que significa que el sumando nunca es negativo. También es precisamente $0$ siempre que $n < \pi(k) < 2n$. Por lo tanto, la única contribución proviene de $\pi(k) \leq n$.

Dado que $n$ es fraccional, $\pi(k)$ nunca es exactamente $n$. El primer valor de $k$ para el cual $\pi(k) > n$ es $P_{\lceil n \rceil}$, por lo que el último término contribuyente es $k=P_{\lceil n \rceil}-1$. Mientras tanto, $\pi(k)$ siempre es positivo excepto por el primer término $\pi(1)=0$. Por lo tanto, el RHS se simplifica a

$$4 + \underbrace{3 + 3 + \cdots + 3}_{P_{\lceil n \rceil}-2} + 0,$$

lo cual es una suma muy aburrida que se simplifica a $3P_{\lceil n \rceil} - 2$ por razones elementales que no tienen nada que ver con la teoría de números. En consecuencia, esta "fórmula" para el $n$-ésimo número primo no proporciona ninguna idea sobre la distribución de los números primos porque es esencialmente la identidad trivial de que $3p = \sum_1^p 3$.