Algunas dudas sobre el Teorema del Rastro

Question

El Teorema del Rastro en el Libro de Evan (1ª edición) dice que,

Supongamos que $U$ está acotado y $\partial U$ es $C^1$ . Entonces existe un operador lineal acotado $T$ , $$T:W^{1,p}(U)\rightarrow L^p(U)$$ tal que,

(i) $Tu=u|_{\partial U}$ si $u\in W^{1,p}(U)\cap C(U)$ ,

y

(ii) $\|Tu\|_{L^p(\partial U)} \le C \| u \|_{W^{1,p}(U)}$ .

para cada $u\in W^{1,p}(U)$ con la constante $C$ dependiendo sólo de $p$ y $U$ .

Me interesa la singularidad. ¿Existen diferentes operadores $T_1$ y $T_2$ que satisfacen la condición del Teorema de la Traza? Este teorema no responde a esta pregunta.

Si es así, entonces no podemos definir $Tu$ como el rastro de $u$ en $\partial U$ .

Answer 1

El operador de rastreo $T$ se caracteriza por dos hechos:

I - $T$ es un operador lineal acotado de $W^{1,p}(\Omega)$ en $L^p(\partial\Omega)$ .

II - $T_{|C^1(\overline{\Omega})}$ es igual al operador de restricción a la frontera, es decir, si $u\in C^1(\overline{\Omega})$ entonces $$Tu=u_{\partial\Omega}$$

El punto II garantiza que $T$ restringido a $C^1(\overline{\Omega})$ es único. El primer punto garantiza que es posible ampliar $T$ a $W^{1,p}(\Omega)$ (recuerde que si $\partial\Omega\in C^1$ entonces $C^1(\overline{\Omega})$ es denso en $W^{1,p}(\Omega)$ ) y esta extensión es única.

Answer 2

Desde $C^1(\bar U)$ es denso en $W^{1,p}$ y $T$ es continua en $W^{1,p}$ se deduce que $T$ está determinada de forma única.