Encuentre todos $x,y$ para lo cual $\nabla f$ forma un ángulo de $45°$ con el vector $(1,1)$

Question

Dejemos que $f=x^2+y^2 \implies \nabla f=(2x,2y)$ .

Encuentre todos $x,y$ para lo cual $\nabla f$ forma un ángulo de $45°$ con el vector $(1,1)$ .

Así que pensé en tomar el producto punto $2x+2y=\nabla f \cdot v=||\nabla f|\cdot||v|| \cos(45°)=4\sqrt{x^2+y^2}$ .

Pero el no pude resolver $x+y=2\sqrt{x^2+y^2}$ Sé, por la inspección, que $x=-y$ es una solución, y creo que no hay otras soluciones, pero no sé cómo demostrarlo.

¿Podrían ayudarme?

E: Oh Dios, ya veo donde estuvo mi error... He calculado mal $\cos(45°)$ como $\sqrt 2$ .

Answer 1

Ya que está utilizando coordenadas cartesianas, $(1,1)$ forma un ángulo de $45°$ con $x$ y $y$ coordenadas. Así que $\nabla f$ formará un $45°$ ángulo con $(1,1)$ si se encuentra en el eje x o y positivo exclusivamente.

Así que $\nabla f = c \vec i$

o $\nabla f = c\vec j$

$c > 0$ es cualquier escalar.

así que $(c, 0)$ y $(0, c)$ .

Answer 2

Voy a hacer lo mismo que tú, pero creo que tu producto punto es incorrecto. Si $v$ es el vector que pasa por $(1,1)$ entonces $v=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ Así que

$$ x+y=\nabla f \cdot v = ||\nabla f|| \cdot ||v|| \cos{(45^{o})}= \sqrt{x^2+y^2}. $$

Cuadra eso y obtienes

$$ (x+y)^2=x^2+y^2 \implies 2xy=0 \implies xy=0, $$

así que $x=0$ o $y=0$ lo que significa que $(x,y)=(a,0)$ o $(x,y)=(0,b)$ , $a,b \in \mathbb{R}^{+}.$

Answer 3

Claramente podemos ver que el vector $\hat x+\hat y$ hace un $45$ ángulo de grados con ambos ejes de coordenadas. Esperamos que las soluciones $x=0$ y $y=0$ . Para demostrarlo, tenemos la condición

$$\frac{\nabla f(x,y)}{|\nabla f(x,y)|} \cdot \frac{\hat x+\hat y}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\implies x+y=\sqrt{x^2+y^2}$$

que tiene soluciones $x=0$ o $y=0$ ¡como se esperaba!

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Nota especial:

Tenga en cuenta que como $\nabla f=2\hat xx+2\hat yy$ entonces $|\nabla f|=2\sqrt{x^2+y^2}$ y por lo tanto tenemos que

$$\frac{\nabla f(x,y)}{|\nabla f(x,y)|} =\frac{\hat xx+\hat yy}{x^2+y^2} \tag{SN1}$$

A continuación, observamos que el vector unitario que apunta desde $(0,0)$ a $(1,1)$ es dado por

$$\frac{\hat x+\hat y}{\sqrt{2}} \tag {SN2}$$

Tomando el producto interior de los lados derechos de $(SN1)$ y $(SN2)$ tenemos

$$\frac{x+y}{\sqrt{2}(x^2+y^2)} \tag {SN3}$$

tras lo cual se establece $(SN3)$ igual a $\cos \pi/4=\sqrt{2}/2$ da

$$x+y=\sqrt{x^2+y^2}\implies xy=0$$

y tenemos $x=0$ o $y=0$ .