Característica de Euler de un espacio de cobertura

Question

Se sabe que si $X$ es un complejo CW finito y si $Y \to X$ es un $n$ -cubierta de sábanas entonces $Y$ es un complejo CW finito y $\chi(Y)=n \cdot \chi(X)$ .

De forma más general, la característica de Euler puede definirse como $\chi(X)= \sum_i(-1)^i \text{rank}(H_i(X))$ cuando todos los grupos homológicos, excepto los finitos, son triviales (es decir, cuando $X$ es de tipo finito acotado). En este caso, ¿sigue siendo válida la afirmación anterior?

Si $X$ es de tipo finito acotado y si $Y \to X$ es un $n$ -cubierta de láminas, ¿es cierto que $Y$ es de tipo finito acotado y $\chi(Y)=n \cdot \chi(X)$ ?

Un problema más débil es: ¿Existe una prueba homológica para los complejos CW?

Answer 1

De la secuencia espectral de Leray-Serre para un mapa de cobertura $Y\to X$ que es un fibrado con fibras discretas, obtenemos un isomorfismo $H^p(Y)\cong H^p(X,\mathcal H^0)$ , donde $\mathcal H^0$ denota el sistema local de coeficientes que en cada punto de $X$ tiene grupo igual a $H^0(p^{-1}(x))$ .

Si la cubierta es de $n$ hojas, entonces $\mathcal H^0$ es localmente $\mathbb Z^n$ con el grupo fundamental de $X$ actuando por permutación de la base estándar según la representación de permutación de la monodromía.

Ahora el sistema local $\mathcal H^0$ corresponde a una gavilla $\mathcal F$ en $X$ y para los sensatos $X$ (paracompacto, digamos), se puede calcular la cohomología singular con coeficientes en el sistema local como cohomología de gavilla con coeficientes en la gavilla $\mathcal F$ . Si $X$ tiene una buena cobertura finita $\mathcal U$ (en el sentido del libro de Bott-Tu) entonces se puede calcular la cohomoogía de gavillas $H^p(X,\mathcal H^0)$ como la cohomología de Cech $H^p(\mathcal U,\mathcal H^0)$ . Observando el complejo que lo calcula por definición, vemos que la característica de Euler de $H^p(\mathcal U,\mathcal H^0)$ y, por tanto, de $H^\bullet(X,\mathcal H^0)$ es $n$ veces la de $H^\bullet(X,\mathbb Z)$ . Fíjate que la existencia de coberturas buenas implica ser de tipo finito acotado, como tú dices (pero creo que incluso implica que el espacio del tipo de homotopía de un complejo CW, es decir, el nervio de la cobertura buena... así que todo esto podría no aportarnos mucho)

El hecho de que la característica de Euler de un espacio sensible con coeficientes en un sistema local de coeficientes que localmente parece $\mathbb Z^n$ es $n$ veces la del espacio debe estar escrita en algún sitio, pero no la encuentro ahora. Hay esta respuesta por Matt pero no da una referencia.