Definición de representación regular izquierda de $G$ .

Question

No entiendo muy bien la definición de representación regular izquierda de $G$ . ¿Alguien podría darme alguna explicación o ejemplo?

La representación de permutación que ofrece la multiplicación por la izquierda en los elementos de $G$ (cosets de $H = 1$ ) se llama la representación regular izquierda de $G$ .

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo, entonces se puede obtener un homomorfismo $$ f \colon G \to S(G)$$ donde $S(G)$ es el grupo de permutaciones en $G$ definida como el mapeo que envía cada $g \in G$ en el mapeo $f(g) \colon G \to G$ tal que para cada $x \in G$ la ecuación $$f(g)(x)=gx$$ se mantiene.

Los axiomas de asociatividad y de unidad garantizan que $f$ es un homomorfismo de grupos:

• para todos $g,h \in G$ y $x \in G$ tenemos $$f(gh)(x)=(gh)x=g(hx)=f(g)(hx)=f(g)(f(h)(x))=f(g)\circ f(h)(x)$$
• para todos $x \in G$ la igualdad $$f(1)(x)=1x=x$$ se mantiene.

Este homomorfismo $f$ es la representación regular izquierda (representa los elementos del grupo $G$ como simetrías del mismo grupo visto sólo como un conjunto).

El nombre de izquierda es para distinguirlo del (anti)-homorfismo $$f' \colon G \to S(G)$$ que a cada $g \in G$ asociado $f'(g) \colon G \to G$ tal que para cada $x \in G$ tenemos $f'(g)(x) = xg$ .

A través de la correspondencia entre acciones y homomorfismos en grupos simétricos la representación regular izquierda es aquella que corresponde a la acción izquierda de $G$ sobre sí mismo dado por la multiplicación.

Espero que esto ayude.