Cuando hablamos de un mapa de inclusión, partimos de espacios topológicos $S \subset T$ y luego construir el mapa para que sea el canónico: $\phi:S \hookrightarrow T$ definida de tal manera que $x \mapsto x$ para todos $x \in S$ . Lo fundamental aquí es que $S$ en realidad es un subconjunto de $T$ ; esto es lo que hace posible el adjetivo "canónico".
A veces, los autores son menos formales con su terminología, y se oye hablar, por ejemplo, de la "inclusión" $\Phi: \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}^2$ definida de tal manera que $x \mapsto (x, 0)$ . Pero fíjate en la diferencia: $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{R}^2$ . El cero se eligió de forma algo arbitraria, sobre todo porque la gente mirará el plano y pensará en el conjunto $\{(x, 0) \ | \ x \in \mathbb{R} \}$ como "la línea real", lo que no es perfectamente correcto, por supuesto, pero las ideas que se transmiten a través de un abuso de la terminología son, sin embargo, bien conservadas (por lo general), con la ventaja de la brevedad.
Si tenemos una "inclusión", por ejemplo $\mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{R}^2$ o más generalmente, $A \hookrightarrow A \times B$ es más exacto llamar a esto un _incrustación topológica_ --es decir, un mapa $\phi: A \hookrightarrow A \times B$ donde $\phi$ es un homeomorfismo en su imagen . Esto es siempre posible en tales escenarios, por lo que efectivamente el espacio de destino contiene una copia topológicamente idéntica del espacio que se está "inyectando" por $\phi$ (por lo que puede ser tentador pensar en $A$ como un subconjunto de $A \times B$ ). Hay muchas maneras de definir este mapa. Con el $\mathbb{R}^2$ ejemplo, podríamos haber definido fácilmente $\Phi$ sea tal que $x \mapsto (x, y)$ para cualquier $y \in \mathbb{R}$ .
