Demostrar que $\frac{\mathbb{C}[x,y]}{\langle x^2-y^2-1\rangle}$ es un dominio integral tal que todos los ideales primos no nulos son maximales.

Question

Dejemos que $R=\frac{\mathbb{C}[x,y]}{\langle x^2-y^2-1 \rangle}$ .

Demostrar que

(1) $R$ es un dominio integral.
(2) Cualquier ideal primo no nulo de $R$ es máxima.

Mi idea:

(1) La primera parte es fácil. Dado que $x^2-y^2-1\in \mathbb{C}[y][x]$ es Eisenstein con respecto al primo $y+i$ es irreducible. Por lo tanto, el ideal generado por él es un ideal primo.

(2) Tengo problemas con esta parte. Tengo un enfoque (no estoy seguro de si es correcto).

Enfoque : Dejar que $I=\langle x^2-y^2-1 \rangle$ . Entonces $R=\mathbb{C}[x,y]/I$ . Cualquier ideal de $R$ es de la forma $J/I$ donde $J\subseteq \mathbb{C}[x,y]$ es un ideal que contiene $I$ . Si podemos demostrar que cualquier ideal primo $J$ que contiene $I$ es máxima, entonces hemos terminado. ¿Cómo se demuestra esto?

¿Hay alguna otra forma de probar la segunda parte?

Edito: Intento evitar el Nullstellensatz de Hilbert y la noción de dimensión de un anillo, ya que estos conceptos no están en el temario del examen del que he encontrado esta pregunta.

Answer 1

Solución 1. La segunda parte también es muy sencilla. En efecto, recordemos que si $k=\overline{k}$ es un campo algebraicamente cerrado cada ideal primo de $k[X,Y]$ es de la forma $\langle X-x,Y-y\rangle$ o de la forma $(f(X,Y))$ con $f(X,Y)\in k[X,Y]$ irreducible. Si se toma $k[X,Y]/I$ para algún ideal $I$ tenemos que el conjunto de los ideales primos de $k[X,Y]/I$ es simplemente el conjunto de los primos en $k[X,Y]$ de los primos que contienen $I$ . Ahora, como el polinomio $X^2-Y^2-1$ es irreducible, los únicos primos que lo contienen son los generados por al menos dos elementos, es decir, los máximos en $\mathbb{C}[X,Y]$ que siguen siendo máximas cuando las pensamos en $\mathbb{C}[X,Y]/(X^2-Y^2-1)$ .

Solución 2. El anillo $R=\mathbb{C}[X,Y]/(X^2-Y^2-1)$ es isomorfo a $\mathbb{C}[X,Y]/(XY-1)$ a través del mapa que lleva $X+Y$ y $X-Y$ a $X$ y $Y$ respectivamente. Además, el anillo $A=\mathbb{C}[X,Y]/(XY-1)$ es isomorfo a la localización de $\mathbb{C}[X]$ en $X$ es decir $A\simeq B:=\mathbb{C}[X,1/X]$ a través del mapa que envía $X$ a $X$ y $Y$ a $1/X$ . Ahora los primos de $B$ son los de la forma $(X-x)$ con $x\in\mathbb{C}^\times$ Por lo tanto, hemos hecho ya que cada $(X-x)\subset B$ es máxima y $R\simeq B$ .