Productos Massey y $A_{\infty}$ estructuras

Question

Conozco el teorema general de Kadeishvili que dice que, para una DGA $C$ cuando $H^{i}(C)$ , $i\geq 0$ es gratis, $H(C)$ puede convertirse en un $A_{\infty}$ álgebra. Si mi entendimiento es correcto, la prueba utiliza esencialmente la libertad de $H^{i}(C)$ para producir una sección $$s:H(C)\to C$$ de la proyección $p:C\to H(C)$ . Entonces una elección de homotopía de cadena entre la identidad y $sp$ puede utilizarse para definir los mapas $$m_{i}:\otimes^{i}H(C)\to H(C).$$ No es difícil ver que estos le dan un elemento de los productos más altos de Massey (cuando se define).

Esta es mi pregunta: Cuando $H^{i}(C)$ es no libre ¿hay alguna buena manera de definir un $A_{\infty}$ estructura en $H(C)$ ? Parece que el hecho de tener una homotopía de cadena real es crucial para la construcción y en general $p$ puede ser sólo una cuasi-iso. Espero que esta pregunta no sea demasiado elemental (todavía soy un humilde estudiante de posgrado). Es que me parece impar que los productos superiores de Massey puedan ser definidos en general, incluso para la torsión $H(C)$ (siempre y cuando las inferiores se desvanezcan), pero uno puede no ser capaz de identificarlas con un $A_{\infty}$ estructura.

Answer 1

Dejemos que $C = \Bbb Z[x,y] \otimes \Lambda[u,v]$ con $x$ y $y$ en grado (homológico) 2 y $u$ y $v$ en grado 3, con $dx = dy = 0$ y $du = 2x$ , $dv = 2y$ . Entonces $H_5(C)$ es $\Bbb Z/2$ generado por el producto Massey $x v - u y = \langle x,2,y\rangle$ (sin indeterminación en este caso).

Esta estructura no procede de la homología dotada de un $A_\infty$ estructura, porque entonces tendríamos $$\langle x,2,y \rangle = m_3(x \otimes 2 \otimes y) = 2 \cdot m_3(x \otimes 1 \otimes y) = 0.$$

La generalización habitual aclara que el original podría verse como, en lugar de un teorema sobre la homología, un teorema sobre la equivalencia en cadena: si $C \to D$ es una equivalencia de homotopía de cadena y $C$ es una DGA, entonces $D$ obtiene un $A_\infty$ estructura.