¿Tiene cada superficie no orientable $S$ una cubierta orientable de grado $2?

Question

Como sugiere el título de la pregunta, ¿cada superficie no orientable $S$ tiene una cubierta orientable de grado $2$?

Answer 1

Creo que con esta pregunta depende mucho del entorno en el que se haga. Si pensamos en superficies como $ 2 $-variedades topológicas, entonces ya es complicado definir la orientabilidad, por lo que será difícil evitar un poco de "tecnología" (como el Capítulo 3 de Hatcher).

Si estás dispuesto a trabajar con superficies suaves, entonces el concepto de orientabilidad se vuelve mucho más fácil y hay una construcción más directa. Básicamente, eliges un atlas $ \{(U_i, u_i): i \in I\} $ tal que cada intersección no vacía $ U_i \cap U_j $ está conectada. Esto significa que para cualquier intersección con cambio de cartas $ \phi_{ij} $, la expresión $ \det(D\phi_{ij}) $ tiene signo constante, digamos $ \alpha_{ij} = \pm 1 $. Luego tomas el conjunto de todos los triples $ (i, x, \epsilon) $ donde $ i \in I $, $ x \in U_i $ y $ \epsilon = \pm 1 $. En esto defines una relación de equivalencia identificando $ (i, x, \epsilon) $ con $ (j, y, \mu) $ si $ x = y $ (y por lo tanto se encuentra en $ U_i \cap U_j $) y $ \epsilon = \alpha_{ij}\mu $. Esto se ve inmediatamente como una relación de equivalencia y se denota por $ \tilde S $ el conjunto de clases de equivalencia. Luego, a partir de la construcción, obtienes una proyección obvia $ \tilde S \to S $ y un atlas orientado en $ \tilde S $ que hace que esta proyección sea un difeomorfismo local suave y, por lo tanto, una cobertura. Es fácil ver que para $ S $ conectado, $ \tilde S $ es conectado si y solo si $ S $ es no orientable. (Por supuesto, todo esto se generaliza a dimensiones arbitrarias.)