Aquí pasan muchas cosas, pero lo primero que hay que tener en cuenta es que la descripción que se da es en realidad de un regular no una función racional (una función racional es una función regular definida en un subconjunto abierto denso hasta una relación de equivalencia). Lo siguiente que hay que saber es que cualquier función de este tipo sobre un subconjunto cerrado $X\subset\Bbb C^m$ puede describirse globalmente como un polinomio (véase aquí por ejemplo, aunque hay muchas otras fuentes). Esto es una gran noticia, porque significa que podemos sustituir su mapa por un único mapa $$\phi(x)=(f_1(x_1,\cdots,x_m),\cdots,f_n(x_1,\cdots,x_m)).$$ Ahora es fácil comprobar la condición de que este mapa es continuo con respecto a la topología de Zariski mostrando que la preimagen de un conjunto cerrado es cerrada.
Supongamos que $Z\subset Y$ es un subconjunto cerrado cortado por $h_1,\cdots,h_l$ . Entonces la preimagen de $Z$ en $\phi$ es el subconjunto de $X$ recortado por $h_1(f_1,\cdots,f_n)=0$ , $\cdots$ , $h_l(f_1,\cdots,f_n)=0$ . Pero estos son sólo polinomios en el $x_i$ Así que $\phi^{-1}(Z)$ es Zariski cerrado en $X$ y ya está.
Un observador atento notará que en realidad no necesitamos toda la fuerza de esta condición si conocemos un poco de topología.
Hecho topológico : si $S$ es un subconjunto de un espacio topológico $X$ y $\{U_i\}_{i\in I}$ es una cubierta abierta de $X$ entonces $S$ está abierto/cerrado en $X$ si $S\cap U_i$ está abierto/cerrado en cada $U_i$ .
Para cada punto, aplique su definición para encontrar una vecindad abierta donde podamos escribir $\phi(x)=(\frac{f_1}{g_1},\cdots,\frac{f_n}{g_n})$ . Si $Z\subset Y$ es un subconjunto cerrado cortado por $h_1,\cdots,h_l$ entonces la preimagen de $Z$ en $\mathcal{O}$ es el lugar donde el $h_i(\frac{f_1}{g_1},\cdots,\frac{f_n}{g_n})$ desaparecer. Pero expandiendo y despejando denominadores, encontramos que esta condición se describe por la desaparición de polinomios. Esto nos da que $\phi^{-1}(Z)\cap \mathcal{O}$ es cerrado, y aplicamos nuestro hecho topológico para terminar el problema.
Permítanme también que me tome un momento para abordar sus cuestiones con los problemas que buscó (que es una gran idea, por cierto). El enlace 1 ya se ha tratado anteriormente. Para el enlace 2, la gran idea es que para cualquier punto de un subconjunto abierto $U$ en un conjunto algebraico cerrado $X\subset\Bbb C^n$ podemos encontrar un conjunto de la forma $D(f)$ que se encuentra completamente dentro de ella $U$ y contiene $p$ y si $X$ es recortado por el ideal $I\subset \Bbb C[x_1,\cdots,x_n]$ entonces $D(f)$ es isomorfo al subconjunto de $\Bbb C^{n+1}$ recortado por $(I,zf-1)\subset \Bbb C[x_1,\cdots,x_n,z]$ por el mapa $(x_1,\cdots,x_n)\mapsto (x_1,\cdots,x_n,1/f)$ . Así que podemos tratar con $D(f)$ , donde $1/f$ se convierte en un polinomio, y como la continuidad es local, hemos terminado.
Por último, sobre los ideales máximos: si $f:R\to S$ es un $k$ -mapa de los generados finitamente $k$ -para algún campo $k$ siempre es cierto que la preimagen de un ideal maximal es un ideal maximal: si $I\subset S$ es máxima, entonces $k\hookrightarrow R/f^{-1}(I)\hookrightarrow S/I$ . Pero esto significa que $R/f^{-1}(I)$ es un dominio que está atrapado entre una extensión de campo finito (utilice el lema de Zariski para demostrar que $S/I$ es una extensión finita de $k$ ), que debe ser un campo .
