Estimación de $(\frac{37}{38})^{36}$

Question

Estoy trabajando con un banco de preguntas de probabilidad de 1965, es decir, de la época anterior a la calculadora (creo). La solución a una de las preguntas afirma con seguridad que $\left(\frac{37}{38}\right)^{36}\approx 0.383$ . ¿Es esto obvio/ hay un truco aquí?

Answer 1

En la época anterior a la calculadora, los cálculos como el que solicitas (es decir, los que implican el uso de exponentes, raíces, productos o cocientes) se realizaban con bastante frecuencia de forma aproximada utilizando una tabla de logaritmos y/o una regla de cálculo (aunque en casos bastante especiales como el que nos ocupa en el que $\frac{37}{38} \approx 1$ más el exponente $36$ es relativamente grande (cuando se considera la convergencia de una expresión límite para $e^x$ ) y cerca del $37$ / $38$ valores de la fracción, entonces se pueden utilizar ciertos atajos utilizando estos detalles, como se hace en varias otras respuestas aquí).

Utilizando las propiedades de los logaritmos, para alguna base $b$ (lo más probable es que $10$ ya que es lo que la mayoría de las tablas estaban en aunque, en teoría, se podría utilizar cualquier base $\gt 1$ Por ejemplo, $e$ ), resulta en

$$x = \left(\frac{37}{38}\right)^{36} \implies \log_{b}(x) = 36(\log_{b}(37) - \log_{b}(38)) \tag{1}\label{eq1A}$$

Una tabla de registro para la base $b$ se utilizaría entonces para estimar los valores de $\log_{b}(37)$ y $\log_{b}(38)$ (por ejemplo, véase Tabla de registros: Cómo usar la tabla de logaritmos, con ejemplos y preguntas de práctica y 4 maneras de usar las tablas logarítmicas - wikiHow para más detalles), normalmente a $4$ , $5$ o $6$ dígitos significativos cada uno, y luego determinar la diferencia, probablemente a mano, ya que no es demasiado difícil.

A continuación, a mano o con una regla de cálculo (por ejemplo, véase Cómo usar una regla de cálculo (con imágenes) - wikiHow para saber cómo utilizar uno), determinar el producto de éste con $36$ , con lo que se obtiene un valor aproximado de $\log_{b}(x)$ en \eqref {eq1A}.

El siguiente paso es tomar la parte fraccionaria del resultado (también llamada mantisa ) y volver a utilizar la tabla de logaritmos para encontrar el antilogaritmo, es decir, determinar aproximadamente a qué valor corresponde el logaritmo, en concreto un valor entre $1$ y $10$ y luego posiblemente aplicar un ajuste de decimales. En este caso, el valor será negativo, por lo que tendrá que utilizar el valor cuando se añade a $-1$ (que es la "característica") para obtener la mantisa adecuada a utilizar, por lo que después de determinar su antilog, mueve el punto decimal a la izquierda en uno.

Por último, debido a los diversos errores acumulativos inherentes al uso de una tabla logarítmica (y de una regla de cálculo si también se utilizó), es posible que desee determinar un número apropiado de dígitos significativos para mantener, con esto aparentemente se hace en su ejemplo, para llegar a un resultado final aproximado de $0.383$ .

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Para su ejemplo concreto, utilizando la base de la tabla de registro $10$ dado en Tabla de registros: Cómo usar la tabla de logaritmos, con ejemplos y preguntas de práctica , mirando la fila con $37$ y la columna $0$ (ya que el valor que estamos utilizando es, a $4$ dígitos significativos, en realidad $37.00$ no es necesario utilizar la sección "Diferencia de medias" aquí), da después de determinar su característica es $1$ Como resultado de

$$\log_{10}(37) \approx 1.5682 \tag{2}\label{eq2A}$$

y, de forma similar, para $38$ , da

$$\log_{10}(38) \approx 1.5798 \tag{3}\label{eq3A}$$

Calculando a mano a continuación se obtiene que

$$\log_{10}(37) - \log_{10}(38) \approx -0.0116 \tag{4}\label{eq4A}$$

A continuación, después de multiplicar a mano, \eqref {eq1A} da

$$\log_{10}(x) \approx -0.4176 = -1 + 0.5824 \tag{5}\label{eq5A}$$

Usando la tabla de registro ahora para encontrar donde $5824$ se encuentra da está en la fila $38$ y entre columnas $2$ y $3$ . Dado que la columna $2$ tiene $5821$ que es $3$ menos, la columna de la diferencia media indica un valor de $3$ , dando un resultado aproximado de $3823$ . Debido a la característica de $-1$ en \eqref {ec5A}, esto da entonces

$$x \approx 0.3823 \tag{6}\label{eq6A}$$

Aquí, el redondeo a $3$ decimales da $0.382$ que es un poco menos de lo que se estima. Hay varias razones posibles para esta diferencia, siendo la más probable que una tabla de logaritmos más precisa (por ejemplo, con $5$ o $6$ dígitos significativos en lugar de $4$ ) se utilizó en su cálculo.

Answer 2

Recuerdo: $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x.$$

Así que para un gran $n:$ $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-2} = \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n-1}}\right)^{n-2}=\dfrac{n}{n-1}\cdot \left(1+\dfrac{1}{n-1}\right)^{1-n}\approx\dfrac{e^{-1}n}{n-1}$$

Answer 3

La expansión binomial nunca es una buena aproximación a este tipo de problemas porque el coeficiente del binomio sube muy bruscamente, y no se pueden tomar sólo los primeros términos.

En este caso puede poner $$ \eqalign{ & \left( {{{37} \over {38}}} \right)^{36} = \left( {1 - {1 \over {38}}} \right)^{36} = {1 \over {\left( {1 - {1 \over {38}}} \right)^2 }}\left( {1 - {1 \over {38}}} \right)^{38} \approx \cr & \approx {{e^{\, - 1} } \over {\left( {1 - {1 \over {38}}} \right)^2 }} \approx {{\left( {1 + {2 \over {38}}} \right)} \over e} \cr} $$

Answer 4

Una solución es establecer $x = 1/36$ y expandirse alrededor de $x=0$ .

Con este enfoque tenemos $$ \left(\frac{37}{38}\right)^{36} = \left( \frac{x+1}{x+2}\right)^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \frac{1}{x} \log\left( \frac{x+1}{x+2} \right) \right) = \exp\left( -1 + \frac{3 x}{2} + O(x^2) \right) = \frac{2+ 3 x}{2 e} + O(x^2) $$ introduciendo el valor de $x$ rinde $$ \left(\frac{37}{38}\right)^{36} \approx \frac{25}{24 e} = 0.383\ldots $$

Answer 5

sugerencia

$$\frac{37}{38}=1-\frac{1}{38}$$

$$(1-x)^n\approx 1-nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2$$