Demuestra que $f\circ \gamma$ es una superficie regular.

Question

Dejemos que $f\colon S_1\to S_2$ sea un difeomorfismo local y que $\gamma$ sea una curva regular en $S_1$ entonces $f\circ\gamma$ es una superficie regular en $S_2$ .

Existe su respuesta. Pero no puedo entenderla. Por favor, explique la pregunta. Gracias.

4.4.4 $d(f\circ\gamma)/dt=D_{\gamma(t)}f(\dot\gamma(t))$ es distinto de cero porque $\dot\gamma$ es distinto de cero ( $\gamma$ es regular) y $D_{\gamma(t)}f$ es invertible (Proposición 4.4.6)

Answer 1

Si $\gamma: [a,b]\rightarrow S^1$ $t\mapsto \gamma(t):=(\gamma_1(t),\dots,\gamma_n(t))$ es una curva regular en $S^1\subseteq\mathbb R^n$ , entonces la composición $f\circ \gamma: [a,b]\rightarrow S^2$ es una curva regular en $S^2\subseteq\mathbb R^n$ con $f:S^1\rightarrow S^2$ es un difeomorfismo local.

De hecho, para todos los $t\in[a,b]$ el $i$ -a componente de $f\circ\gamma$ satisface

$$\frac{d (f\circ \gamma)_i}{dt}(t)=\text{chain rule}=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial \gamma_j}(\gamma(t))\frac{d\gamma_j}{dt}(t), $$

que es distinto de cero, ya que $\gamma$ es regular, es decir $\frac{d\gamma}{dt}(t)=\left(\frac{d\gamma_1}{dt}(t),\dots, \frac{d\gamma_1}{dt}(t)\right)$ es un vector no nulo para todo $t\in [a,b]$ y la matriz jacobiana $\left(\frac{\partial f_i}{\partial \gamma_j}(\gamma(t))\right)_{i,j}$ de $f$ en $\gamma(t)$ es invertible como $f$ es un difeomorfismo local.