Dejemos que $H\leq G$ . Prueba $x^{-1}y^{-1}xy\in H\text{ }\forall x,y\in G \iff H\trianglelefteq G \text{ and } G/H \text{ is abelian}$ .

Question

Pregunta: Que $H\leq G$ . Prueba $x^{-1}y^{-1}xy\in H\text{ }\forall x,y\in G \iff H\trianglelefteq G \text{ and } G/H \text{ is abelian}$ .

mis pensamientos: En la dirección de avance, si $x^{-1}y^{-1}xy\in H$ para todos $x,y\in G$ entonces $y^{-1}xy\in xH\subseteq G$ Así que, como $y\in G$ Sólo tengo que demostrar que $x\in H$ para demostrar que $H\trianglelefteq G$ ¿correcto? En el sentido inverso, ya que $H\trianglelefteq G$ puedo considerar los cosets $xH$ , $yH$ , $x^{-1}H$ y $y^{-1}H$ donde $x,y\in G$ por lo que también lo son sus inversos. Entonces, considero $(xH)(x^{-1}H)(yH)(y^{-1}H)$ pero no estoy muy seguro de cómo terminar a partir de aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Para la dirección de avance, tienes que $y^{-1}xy \in xH$ para todos $x$ y $y$ en $G$ como usted dice. Por lo tanto, si $y$ es un elemento arbitrario de $G$ y $x$ es un elemento arbitrario de $H$ entonces $xH = H$ y por lo tanto $y^{-1}xy \in H$ . Esto es exactamente lo que significa para $H$ sea un subgrupo normal de $G$ .

Para ver que $G/H$ es abeliana, sólo hay que demostrar que $xyH = yxH$ para cualquier $x, y \in G$ . Esto equivale a decir que $x^{-1}y^{-1}xyH = H$ para todos $x$ y $y$ Lo cual, por supuesto, es cierto según su hipótesis.

Es bastante fácil obtener la dirección inversa del párrafo anterior.

Answer 2

Para la dirección hacia atrás, ya has empezado muy bien. Ya que $G/H$ es abeliano, tenemos $$H = (xH)(x^{-1}H)(yH)(y^{-1}H) =(x^{-1}H)(y^{-1}H)(xH)(yH) = (x^{-1}y^{-1}xy)H$$ ya que podemos intercambiar los lugares de los elementos en $G/H$ .

Para la dirección de avance, con el fin de mostrar $H \unlhd G$ , elija un elemento de la forma $g^{-1}hg \in G$ . Entonces, $$h^{-1}g^{-1}hg \in H \implies g^{-1}hg \in hH = H \implies g^{-1}Hg \subseteq H \implies H \unlhd G$$ Dejo como ejercicio el demostrar que $G/H$ es abeliana.