Elementos de orden finito de $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{Q})$

Question

Para un trabajo de investigación, necesito conocer la clasificación de los elementos de orden finito de $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{Q})$ hasta la conjugación.

Como esencialmente necesito $n\le 4$ Creo que puedo demostrarlo a mano, usando extensiones ciclotómicas y la teoría de Galois, pero ¿hay algún trabajo en la literatura sobre esto?

EDIT: Mirar los posibles pedidos es esencialmente trivial en $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Q})$ con sólo mirar los polinomios ciclotómicos. Las clases de conjugación requieren un poco más de trabajo, pero son ejercicios fáciles, al menos en dimensión baja. Para $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{Q})$ el caso de los pedidos primos a $n$ se desprende esencialmente del caso de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Q})$ Los pedidos son más interesantes.

Answer 1

Pensé en escribir las observaciones elementales aquí, ya que nadie más lo ha hecho: Si $g^k = \mathrm{Id}$ en $PGL_n$ entonces $g^k = a \mathrm{Id}$ en $GL_n$ para un número de veces que no es cero $a$ . Por tanto, el polinomio mínimo de $g$ divide $x^k-a$ . Sea $p_1 p_2 \cdots p_r$ sea la factorización de $x^k-a$ en $\mathbb{Q}$ . Podemos utilizar la forma canónica racional para escribir un $\deg p_i \times \deg p_i$ matriz $g_i$ (sobre $\mathbb{Q}$ ) con el polinomio característico $p_i$ . Entonces, para cualquier entero no negativo $a_i$ tal que $\sum a_i \deg p_i = n$ podemos tomar la matriz diagonal de bloques cuyas entradas son $a_i$ copias de $g_i$ . Por el contrario, si $g^k = a$ podemos romper $g$ en bloques según los factores irreducibles de $x^k-a$ .

Por lo tanto, lo que queda es analizar los grados de la $p_i$ . Sea $K$ sea el campo de división de $x^k-a$ en $\mathbb{Q}$ y que $G$ sea el grupo de Galois. Escribe $\zeta$ para una primitiva $k$ -raíz de $1$ y $\alpha$ para un elegido $k$ -raíz de $a$ dentro de $K$ . Entonces cada elemento de $G$ es de la forma $\zeta^i \alpha \mapsto \zeta^{ui+v}$ para $u \in (\mathbb{Z}/k)^{\times}$ y $v \in \mathbb{Z}/k$ . Así que $G$ es un subgrupo de $(\mathbb{Z}/k)^{\times} \ltimes (\mathbb{Z}/k)$ . También, $G$ se proyecta sobre $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ por lo que, para cada $u \in \mathbb{Z}/k^{\times}$ El grupo $G$ contiene un elemento de la forma $i \mapsto ui+v$ . El problema es describir las órbitas de dicho grupo en $\mathbb{Z}/k$ .

Por ejemplo, cuando $k=4$ entonces $G$ es un subgrupo de $\{ \pm 1 \} \ltimes (\mathbb{Z}/4)$ . Si no es todo el grupo (en cuyo caso $x^4-a$ es irreducible), entonces es el grupo generado por $i \mapsto -i$ (en cuyo caso $x^4-a$ factores como $(\mbox{linear}) (\mbox{linear})(\mbox{quadratic})$ como $x^4-1$ ), o el grupo generado por $i \mapsto -i+1$ (en cuyo caso $x^4-a$ factores como $(\mbox{quadratic}) (\mbox{quadratic})$ como $x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$ ), o bien $\{ \pm 1 \} \times 2 \mathbb{Z}/4$ , en cuyo caso (en cuyo caso $x^4-a$ factores como $(\mbox{quadratic}) (\mbox{quadratic})$ como $x^4-4$ ).

En este punto, no está claro qué hacer a continuación, y la pregunta también está un poco desenfocada. Aquí hay algunas preguntas (en mi opinión) naturales:

• ¿Es cierto que $x^k-a$ siempre tiene un factor de grado $\geq \phi(k)$ ? ACTUALIZACIÓN: No. $x^8-16 = (x^2-2)(x^2+2)(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ y $\phi(8) = 4$ .

• Para los fijos $k$ ¿Cuál es el menor $n$ para lo cual $PGL_n(\mathbb{Q})$ tiene un elemento de orden $k$ ? No es $\phi(k)$ : Podemos construir elementos de orden $15$ en $GL_6$ como la suma directa de elementos de órdenes $3$ y $5$ en $GL_2$ y $GL_4$ aunque $\phi(15) = 8$ .

• No tengo un ejemplo de un caso en el que $PGL_n(\mathbb{Q})$ tiene un elemento de orden $k$ pero $GL_n(\mathbb{Q})$ no lo hace. Imagino que existe, pero sería bueno tener un ejemplo.

Answer 2

Dejemos que $\lambda^k=a$ . Consideremos cómo el grupo de Galois del campo de división del polinomio mínimo de $\lambda$ actúa sobre las raíces. Como señala David Speyer, se trata de un subgrupo de $(\mathbb Z/k)^\times \ltimes (\mathbb Z/k)$ . Si este subgrupo tiene una intersección no trivial con $ (\mathbb Z/k)$ , entonces hay un $l$ dividiendo $k$ tal que para cualquier raíz $\lambda$ del polinomio mínimo, y $l$ raíz de la unidad $\mu$ , $\mu \lambda$ también es una raíz.

Así que el grado del polinomio mínimo de $\lambda$ es $l$ veces el grado del polinomio mínimo de $\lambda^l$ . Ahora podemos reducir al caso en que el grupo de Galois tiene intersección trivial con $\mathbb Z/k$ .

Observación 1: En este caso el grupo de Galois es abeliano, por lo que el tamaño de la órbita es el tamaño del grupo de Galois, por lo que el tamaño de la órbita es al menos $\phi$ del orden del elemento. Por lo tanto, no hay nuevos órdenes de elementos de $PGL_n(\mathbb Q)$ aparecen que no son órdenes de elementos de $GL_n(\mathbb Q)$ .

Observación 2: Si $k$ es impar, entonces hay algún elemento de la forma $x \to 2x+b$ en el grupo de Galois. Esto tiene el único punto fijo $x=-b$ . Como el grupo de Galois es abeliano, cualquier otro elemento fija este punto. Por lo tanto, el $k$ las raíces de $a$ es un número racional que multiplica el $k$ a raíz de la unidad.

Clasificación completa: Deja $m \in (\mathbb Z/k)^\times$ sea un elemento tal que $m-1 \in 2 (\mathbb Z/k)^\times$ . Entonces hay un elemento $x \to mx+b$ en el grupo de Galois. Si $b$ es par, entonces este elemento tiene dos puntos fijos, las soluciones de $(m-1)x+b=0$ , por lo que cualquier otro elemento fija o invierte esos puntos. Lo que esto significa es que hay una extensión cuadrática de $\mathbb Q$ fijado por el índice $2$ subgrupo del grupo de Galois que fija esos dos puntos, y que esos dos puntos son de la forma $q \sqrt{D}$ donde $q$ es racional y $\sqrt{D}$ genera esa extensión cuadrática. Se pueden clasificar fácilmente todos los conjuntos de raíces de este tipo.

Veo mi argumento en el caso $b$ impar no funciona realmente, así que no tengo una clasificación completa.

Answer 3

Ver https://math.temple.edu/~lorenz/papers/sizes/sizes.pdf

Busca La secuencia de Minkowski