Calcula $\int_{\gamma} z\, dz$ para cualquier trayectoria suave $\gamma$ que comienza en $z_0$ y termina en $w_0$

Question

Calcular la integral de línea compleja $$\int\limits_{\gamma} z\, \mathrm{d}z$$ para cualquier trayectoria suave $\gamma$ que comienza en $z_0$ y termina en $w_0$ .

No sé cómo debo hacer para parametrizar cualquier trayectoria suave $\gamma$ . Sé cómo resolver esto para una línea de $z_0$ a $w_0$ pero estoy perplejo por "cualquier" camino suave.

Answer 1

$f(z)=z$ es un todo en el plano complejo, por lo que $\int_\gamma z\,dz$ sólo depende de los puntos finales de $\gamma$ y no el "interior" del mismo (como un campo vectorial conservativo). El resultado para cualquier trayectoria de $z_0$ a $w_0$ es el mismo que el resultado de la recta de $z_0$ a $w_0$ : $\frac12(w_0^2-z_0^2)$ .