Potencial escalar de un campo vectorial

Question

Quiero encontrar un potencial escalar $\varphi$ para el campo del vector

$$\mathbf{F}(x,y) = (2\cdot x \cdot y +x )\mathbf{i}+{x^2}\mathbf{j}$$

tal que $\varphi(0,0)=5$

Primero tengo que comprobar que el campo vectorial es conservador

$$\frac{\delta F_1}{\delta y}=\frac{\delta F_2}{\delta x}$$

$$2x=2x \to \frac{\delta F_1}{\delta y}-\frac{\delta F_2}{\delta x} = 0$$ por lo que el campo vectorial es conservador.

Entonces quiero encontrar el potencial escalar. Sé que $\nabla f= \mathbf F $

Answer 1

Para el primer componente tenemos

$$f_x=2\cdot x \cdot y +x \implies f=x^2y+\frac12x^2+g(y)$$

y del segundo

$$f_y=x^2+g'(y)=x^2 \implies g(y)=k$$

por lo tanto

$$f(x,y)=x^2y+\frac12x^2+k$$

con la constante $k$ que se determine por la condición dada.