Hola a todos: Supongamos que $D$ es un dominio de $\mathbb{R}^{n}$ $(n \geq1)$ , $Y$ un espacio topológico localmente compacto, y $\mu$ una medida sobre $Y$ . Sea $f(x,y): D\times Y\rightarrow[0,+\infty)$ sea medible. Mi pregunta es: ¿Cómo podemos utilizar el lema de Fatou (y bajo qué condición(es)) para obtener $$\int_{Y}\liminf_{\zeta\rightarrow x}f(\zeta,y)d\mu(y)\leq\liminf_{\zeta\rightarrow x}\int_{Y}f(\zeta,y)d\mu(y)?$$ ¿Existe algún truco inteligente para transformar el límite mínimo anterior en un límite mínimo secuencial? Gracias por considerarlo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mientras el integrando del lado izquierdo sea medible, puedes reducir tu pregunta al caso secuencial:
Existe una secuencia $(\zeta_n)_n$ en $\Bbb{R}^n$ con $\zeta_n \rightarrow x$ y
$$\liminf_{\zeta \rightarrow x} \int_Y f(\zeta, y)\,d\mu(y) = \lim_n \int_Y f(\zeta_n, y)\, d\mu(y).$$
Esto es cierto, porque aquí sólo estamos hablando del límite de un único número.
Fatou cede ahora
$$\int_Y \liminf_n f(\zeta_n, y) d\mu(y) \leq \liminf_n \int_Y f(\zeta_n, y) \, d\mu(y) = \liminf_{\zeta \rightarrow x} \int_Y f(\zeta, y) \, d\mu(y).$$
Anotar $\liminf_{\zeta \rightarrow x} f(\zeta, y) \leq \liminf_n f(\zeta_n, y)$ para todos $y \in Y$ completa la prueba.
Estoy bastante seguro de que, en general, el integrando de la parte izquierda de su ecuación no tiene por qué ser medible. Editaré el post si se me ocurre un contraejemplo explícito.
EDIT: Permítanme elaborar un poco. Si usted tiene una secuencia $(z_n)_n$ de números reales, entonces siempre hay una subsecuencia $(x_{n_k})_k$ con $\lim_k x_{n_k} = \liminf_n z_n$ ( ¡muestra esto! ). Esto es lo que quería decir con "el $\liminf$ de un solo (!) número". Tal vez debería haber dicho "de una sola secuencia".
Consideremos ahora el caso de "no una única secuencia", con lo que me refiero, por ejemplo, a una secuencia de funciones (como el integrando anterior). Como ejemplo fácil, consideremos
$$ f_{n}:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\begin{cases} \left(-1\right)^{n}, & x=0\\ \left(-1\right)^{n+1}, & x=1. \end{cases} $$
Aquí, $\liminf f_n \equiv -1$ pero si eliges cualquier subsecuencia $(f_{n_k})_k$ Siempre tienes $f_{n_k}(0) = - f_{n_k}(1)$ lo que demuestra que $(f_{n_k})_k$ no puede converger puntualmente a $-1$ .
Lo mismo ocurre con el límite "continuo" (es decir $\liminf_{\zeta \rightarrow x}$ ), pero aquí hay que sustituir la subsecuencia por una secuencia real $\zeta_n \rightarrow x$ ( ¡muestra esto! ). Esto es lo que he hecho arriba para el liminf
$$ \liminf_{\zeta \rightarrow x} \int_Y f(\zeta, y) \, d\mu(y). $$
Obsérvese que estamos de nuevo en el caso de una única "secuencia" porque la expresión depende sólo de $\zeta$ , no en $y$ (o cualquier otra variable).
