¿Cómo puedo resolver esta integral utilizando el análisis complejo?

Question

Me está costando trabajar en este problema de práctica. Dice:

Calcula la integral: $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{y^4+1}\,\mathrm{d}y$$

Answer 1

No te dejes llevar por $y$ siendo la variable de integración; puede llamarse $x$ también. Así que se nos dice que calculemos $$\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a{dx\over x^4+1}\ .$$ Incorporar el $x$ -en el plano complejo y considerar allí la región $$\Omega:=\{z=x+iy\ |\ x^2+y^2< a^2,\ y>0\}\ .$$ Su límite $\partial\Omega$ consiste en el segmento $[-a,a]$ en el eje real y un semicírculo de radio $a$ . Aplique a esta situación el teorema del residuo $$\int_{\partial\Omega}{dz\over z^4+1}=2\pi i\sum_{\zeta\in\Omega} {\rm Res}\biggl(z\mapsto {1\over z^4+1}\biggm| \zeta\biggr)$$ y finalmente dejar que $a\to\infty$ .

Answer 2

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{y^4+1}dy=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{y^4+ 2y^2 +1 - 2y^2}dy=$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(y^4+ 2y^2 +1) - 2y^2}dy =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(y^2 +1)^2 - 2y^2} dy$$

¿Puede continuar?

Debería encontrar $\frac{\pi}{\sqrt2}$