Sobre la no existencia de incrustaciones no reales

Question

Dejemos que $K/\Bbb Q$ sea una extensión de Galois finita.

Denota por $U_K$ el grupo de unidades de $\mathcal O_K$ .

Estoy estudiando el impacto de la finitud de $U_K/(U_K\cap \Bbb R)$ sobre la existencia de incrustaciones no reales de $K$ en $\Bbb C$ .

Tengo la siguiente suposición:

$U_K/(U_K\cap \Bbb R)$ finito $\Leftrightarrow$ no hay incrustaciones no reales de $K$ en $\Bbb C$

Si mi suposición es correcta, no veo cómo demostrarlo a partir de la siguiente manipulación:

Por el teorema de la unidad de Dirichlet

$U_K\cong T\times \Bbb Z^{r+s-1}$ con $r,s$ respectivamente el número de incrustaciones de pares reales y complejos y $T$ el subgrupo de raíces de la unidad en $K$ .

Entonces:

$U_K/(U_K\cap \Bbb R) \cong (T\times \Bbb Z^{r+s-1})/((T\cap \Bbb R)\times (\Bbb Z^{r+s-1}\cap \Bbb R)$ (paso 1)

$\cong (T\times \Bbb Z^{r+s-1})/((T\cap \Bbb R)\times \Bbb Z^{r+s-1})$ (paso 2)

$\cong T/(T\cap \Bbb R)$ (paso 3).

No estoy seguro de si algo es incorrecto en los pasos anteriores o de lo contrario, cómo ir más allá.

Gracias por cualquier ayuda para ver esto más claramente.

Answer 1

Dejemos que $K/K^{+}$ sea cualquier extensión no trivial de campos numéricos. Entonces la afirmación natural es que $U_K/U_{K^+}$ es infinito a menos que $K^{+}$ es totalmente real y $K$ es una extensión cuadrática totalmente compleja, es decir, un campo CM. En particular, si $K$ es Galois sobre $\mathbf{Q}$ , entonces todo conjugado de la conjugación compleja fija $K^{+}$ y por eso debe estar en $\mathrm{Gal}(K/K^{+})$ que es, por tanto, normal y tan central. Probemos esto.

Supongamos que $K^{+}$ tiene firma $(r,s)$ y que $K/K^{+}$ tiene grado $d \ge 2$ . Los complejos lugares $s$ de $K^{+}$ dividido en $ds$ lugares complejos de $K$ . $m \le r$ de los lugares reales de $K^{+}$ siguen siendo reales, y así dan $dm$ lugares reales de $K$ y el otro $(r-m)$ lugares reales divididos, y así dar $d/2(r-m)$ lugares complejos de $K$ (los lugares reales sólo pueden dividirse cuando $d$ es uniforme). De ello se desprende que $K$ tiene firma $(R,S) = (dm,ds + d/2(r-m))$ . Para que el cociente unitario sea finito, los rangos de los grupos deben ser iguales y, por tanto, por el teorema de Dirichlet $R+S=r+s$ . Pero

$$R+S-r-s = dm + ds + d/2(r-m) - r- s = \frac{1}{2} \left(d(m+s) + (d-2)(r+s)\right).$$

Sólo puede ser cero si $d = 2$ y $m+s=0$ o si $(r,s) = (r,0)$ y $(R,S) = (0,2r)$ o si $K^{+}$ es totalmente real y $K$ es totalmente complejo.

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Para su pregunta real, puede deducir lo siguiente:

Dejemos que $\sigma$ sea una incrustación de $K$ en los números complejos, dejemos que $K^{+}$ denotan la intersección de $\sigma(K)$ con $\mathbf{R}$ Así que $U_{K^{+}} = U_K \cap \mathbf{R}$ . Entonces, o bien $K = K^{+}$ o $K$ es una extensión de CM.

Tenga en cuenta que $K \ne K^{+}$ exactamente cuando $\sigma$ no es una incrustación real, por lo que se puede reformular como

Si $\sigma$ es una incrustación compleja (no real) de $K$ y $U_K/U_K \cap \mathbf{R}$ es finito, entonces $K$ es CM.

Por supuesto que no se puede decir mucho más que eso, porque si $\sigma$ es una incrustación real, entonces $K^{+}=K$ y la condición que das es trivial. Tal vez usted tiene la condición para todos $\sigma$ , lo que implicaría que o bien $K$ es totalmente real (y por tanto la conjugación compleja es trivial) o $K$ es CM.