Esta pregunta está motivada por algunos trabajos de diseño curricular para la divulgación de las matemáticas. Las inclinaciones normales del plano euclidiano son populares porque personas de todas las edades pueden jugar con ellas, pero por otro lado el tema puede ser bastante sutil y complicado. Esto crea una situación en la que el abuso común de la terminología a veces se convierte en una bola de nieve que genera una mayor confusión. Intento remediarlo y, al menos para empezar, mejorar mi propia comprensión de los detalles técnicos para poder explicarlos a los educadores. Esto se reduce (por ahora) a dos cuestiones, la más interesante de las cuales está en el título. Sin embargo, empiezo por la menos interesante porque establece la notación.
El término "Teselación"
Mi investigación ha sido en topología, donde aprendí una definición muy general de este término. En particular, dado un espacio topológico $\mathcal{X}$ , a teselación $\mathcal{T}$ de $\mathcal{X}$ es un conjunto contable $\{T_i\}_{i\in I}$ ( $I\subseteq\mathbb{N}$ ) de subconjuntos cerrados $T_i\subseteq\mathcal{X}$ tal que $\bigcup_{i\in I}T_i=\mathcal{X}$ , y $\forall i\neq j$ tenemos $\overset\circ{T_i}\cap\overset\circ{T_j}=\emptyset$ . Y llamamos a la teselación alicatado si $\mathcal{X}$ es una superficie, y a menudo se basa en otras suposiciones como la delimitación uniforme y que las baldosas estén delimitadas por curvas cerradas.
En Internet se puede encontrar fácilmente una teselación "definida" como un "mosaico del plano" o algo parecido, y no suele merecer la pena el trabajo de aclarar todos los abusos de la terminología en tales declaraciones. Mi instinto me dice que a la gente le gusta la palabra que suena más matemática (y que recuerda menos al baño), y me molesta un poco porque quiero que la gente esté dispuesta a pensar en cosas más avanzadas si quieren lanzar palabras más grandes. Sin embargo, tratando de elegir bien mis batallas, me pregunto si hay una salida más fácil sin sacrificar la coherencia. ¿Existe un área de las matemáticas con un conjunto respetable de referencias donde este uso sea consistente?
Dobles ilegales
El doble de un mosaico puede definirse combinatoriamente como el resultado de intercambiar sus vértices y caras (una vez que éstas han sido definidas correctamente), y en este sentido, es un invariante topológico. Sin embargo, me parece que la gente quiere pensar en esto como un proceso geométrico, con el "dual" dibujado de una manera específica. A veces eso tiene sentido y otras veces no. (Advertencia: abuso de notación inminente).
Limitémonos al caso en que $\mathcal{X}$ es el plano euclidiano. Si todos mis $T_i$ son polígonos regulares, entonces mis colegas quieren decir que $\mathcal{T}$ tiene un mosaico "dual", $\mathcal{T}^*$ formado por la colocación de un segmento de línea recta que conecta los centros de cada par de baldosas adyacentes (con bordes compartidos), y luego borrando los bordes originales. Observamos que $\mathcal{T}^{**}=\mathcal{T}$ , según se desee.
El problema surge cuando la gente quiere hablar de "duales" de mosaicos que no están formados por polígonos regulares, lo que resulta impreciso porque no está claro cuál es el centro, especialmente cuando las baldosas son cóncavas. Además, hay situaciones en las que $\mathcal{T}^{**}\neq\mathcal{T}$ , lo que no parece correcto para algo que vamos a llamar "dual".
Por otro lado, uno gana en conocimiento al hacer algo como la construcción dual en otras formas. A modo de motivación, comprueba lo que ocurre si $\mathcal{T}$ es el famoso mosaico de lagartijas de Escher, entonces formaré un " $\mathcal{T}^*$ " donde elijo un globo ocular para usarlo como centro, y sigo ese globo ocular en consonancia con la simetría. Esta elección es para (1) mostrar lo que sucede si mi punto no está claramente en el centro geométrico, y (2) hacer que sea fácil de encontrar en cada lagarto.
Y mira lo que pasa cuando forme " $\mathcal{T}^{**}$ " utilizando los centros geométricos de los nuevos polígonos, que casualmente son vértices (es decir, puntos de valencia $>2$ ) de los tilings originales de Escher (no parece una coincidencia).
¿Ese patrón monohédrico con cuadriláteros me dice cosas sobre la simetría del patrón de lagarto? Por supuesto. Y si no me importa volver a usar el lugar donde estaban esos globos oculares como mis "centros", también obtengo " $\mathcal{T}^{***}"="\mathcal{T}^{*}$ ". Pero, ¿he tomado un "dual geométrico"? ¿Qué he tomado? ¿Existe una teoría más generalizada de esto y, si es así, cuáles son las reglas?
