Estoy trabajando en un marco bayesiano: Tengo algunas observaciones $y$ para el que asumo un modelo estadístico. El modelo depende de los parámetros $\theta \in \Theta$ ( $\Theta$ es el espacio de los parámetros). Asumo una distribución de probabilidad $q$ en $\Theta$ . Los parámetros de este modelo se pueden estimar en un máximo a posteriori moda : $$ \hat{\theta} = \mathop{\mathrm{argmax}} \limits_{\theta \in \Theta} p(\theta \mid y) $$ donde $p(\theta \mid y)$ es la distribución posterior de $\theta$ dado $y$ . Ahora, digamos que quiero realizar un cambio de variable en $\Theta$ . Considero que un mapeo $g \, : \, \Theta \, \rightarrow \, \Theta$ que transforma los parámetros "antiguos" $\theta$ en $\theta^{\mathrm{new}} = g(\theta)$ . Suponemos que $g$ es un difeomorfismo suave. Mi pregunta es: ¿cómo modifica este cambio de variable la distribución posterior $p(\theta \mid y)$ ?
Si $\mathrm{J}_{g}(\theta)$ denota la matriz jacobiana de $g$ en $\theta$ sabemos que $\theta^{\mathrm{new}}$ tiene una distribución de probabilidad $\widetilde{q}$ en $\Theta$ dado por :
$$ \widetilde{q}(\theta^{\mathrm{new}}) \vert \mathrm{J}_{g}(\theta) \vert = q(\theta). $$
Utilizando la fórmula de Bayes, escribiría :
$$ p(\theta^{\mathrm{new}} \mid y) = \frac{ p\big( y \mid \theta^{\mathrm{new}} \big) \widetilde{q}(\theta^{\mathrm{new}}) }{ p(y) } = \frac{ p\big( y \mid g(\theta) \big) \vert \mathrm{J}_{g}(\theta) \vert^{-1} q(\theta) }{ p(y) }. $$
¿Es esto correcto o estoy equivocado?
