Diferencia simétrica de la suma de conjuntos incluida en la suma de sus diferencias simétricas

Question

Tengo el siguiente problema. Se supone que debo probar que: $$(A1\cup A2)\oplus(B1\cup B2)\subseteq (A1\oplus B1) \cup (A2\oplus B2)$$ donde $\oplus$ es la diferencia simétrica. Lo sé por la definición: $$X\oplus Y = (X\setminus Y)\cup (Y\setminus X)$$ lo que también puede escribirse como: $$X\oplus Y = (X\cap Y')\cup (X'\cap Y)$$ He probado a trastear con el lado izquierdo y llegar al derecho y viceversa utilizando varias transformaciones de conjuntos, pero no he tenido suerte. También he intentado otro enfoque, utilizando: $$(A1\cup A2)\to x\in A1 \lor x\in A2...$$ pero aún así me quedé atascado y no conseguí nada similar al otro lado.

Esto es un poco molesto, especialmente porque obtuve una solución gráfica rápidamente (consulte el enlace). Agradecería cualquier ayuda, pista o consejo sobre cómo abordar este problema.

También hay una segunda pregunta en la que se pregunta si: $$(A1\cap A2)\oplus(B1\cap B2)\subseteq (A1\oplus B1) \cup (A2\oplus B2)$$ es cierto para cualquier $A1, A2, B1, B2$ . Por lo que intenté hacer, de nuevo, gráficamente, llegué a la conclusión de que sí es cierto.

Mis intentos de hacer las cosas gráficamente - imgur

Answer 1

Tome cualquier $x\in (A_1\cup A_2)\oplus (B_1\cup B_2)=\left((A_1\cup A_2)\setminus(B_1\cup B_2)\right)\bigcup\left((B_1\cup B_2)\setminus (A_1\cup A_2)\right)$ . Entonces, o bien $x\in (A_1\cup A_2)\setminus(B_1\cup B_2)$ o $x\in(B_1\cup B_2)\setminus (A_1\cup A_2)$ .

Caso $1$ : $x\in (A_1\cup A_2)\setminus(B_1\cup B_2)$

Entonces $x\in A_1\cup A_2$ y $x\not\in B_1\cup B_2$ . De ello se desprende que $x\in A_1\setminus (B_1\cup B_2)$ o $x\in A_2\setminus(B_1\cup B_2)$ . Desde $A_1\setminus(B_1\cup B_2)\subseteq A_1\setminus B_1$ tenemos que si $x\in A_1\setminus (B_1\cup B_2)$ entonces $x\in A_1\setminus B_1$ . De la misma manera, $A_2\setminus (B_1\cup B_2) \subseteq A_2\setminus B_2$ Así que si $x\in A_2\setminus(B_1\cup B_2)$ entonces $x\in A_2\setminus B_2$ . Por lo tanto, $x\in (A_1\setminus B_1)\cup (A_2\setminus B_2)$ .

Caso $2$ : $x\in(B_1\cup B_2)\setminus (A_1\cup A_2)$ .

Con un argumento casi idéntico, se puede demostrar $x\in(B_1\setminus A_1)\cup(B_2\setminus A_2)$ .

Por lo tanto, $x\in(A_1\setminus B_1)\cup (A_2\setminus B_2)\cup (B_1\setminus A_1)\cup(B_2\setminus A_2)$ .

Pero $(A_1\setminus B_1)\cup (A_2\setminus B_2)\cup (B_1\setminus A_1)\cup(B_2\setminus A_2)=(A_1\oplus B_1)\cup (A_2\oplus B_2)$ .