¿Qué significa decir "la variable aleatoria $X$ condicionado a $X$ ¿"ser no negativo"?

Question

Vi algo así:

Para extender la prueba a todas las variables aleatorias, dejemos que $\widehat{X}$ sea la variable aleatoria $X$ condicionado a $X$ siendo no negativo. La distribución de $\widehat{X}$ viene dada por $$ F_{\widehat{X}}(x) = \frac {F_X(x)- (1 - F_X(0))} {\mathbb P[X \ge 0]}, \quad x \ge 0, $$ para que
$$dF_{X}(x) =\frac {dF(x)} {\mathbb P[X > 0]}.$$

La definición de $F_{\widehat{X}}(x)$ no tiene mucho sentido para mí. Por ejemplo, cuando $x = 0$ , podríamos tener $F_{\widehat{X}}(x) < 0$ que no coincide con la definición de función de distribución. Entonces, ¿cómo debo interpretar esto? El texto sobre está extraído de este documento .

Answer 1

Creo que tienes razón: $$ F_{\hat X}(0) = \frac{2F_X(x) - 1}{\Bbb P[X\geq 0]} $$ que puede ser fácilmente negativo. Prefiero condicionar como $$ \Bbb P[\hat X \in A] := \Bbb P[X\in A|X\geq 0], $$ pero no estoy seguro de que eso sea lo que quieren decir porque en este caso se obtiene $$ F_{\hat X}(x) = \frac{F_X(x) - F_X(0)}{\Bbb P[X\geq 0]}, \quad x\geq 0 $$ que sí es una FCD siempre que el denominador sea distinto de cero. Así que tal vez sea una especie de error tipográfico en su caso, ya que utilizan $1-F_X(0)$ en lugar de $F_X(0)$ .