Límite superior del número de soluciones enteras de $y^p=x^2+2$ , donde $p$ es primo

Question

Necesito encontrar un límite superior del número de soluciones de la ecuación diofantina $y^p=x^2+2$ , donde $p$ es primo.
He considerado previamente la ecuación $y^3=x^2+2$ y demostró que sus soluciones son $(5,3)$ y $(-5,3)$ factorizándolo como $y^3=(x-\sqrt-2)(x+\sqrt-2)$ y mostrando que $(x-\sqrt-2)$ y $(x+\sqrt-2)$ son relativamente primos por propiedades de la UFD $\mathbb{Z}[\sqrt-2]$ y luego mostrar que $x+\sqrt-2$ es un cubo.
En el último paso, he utilizado el teorema del binomio para encontrar las soluciones:
$x+\sqrt-2=(a+b\sqrt-2)^3$ , donde $a,b \in \mathbb{Z}$ .
Creo que tengo que hacer algo similar para $y^p=x^2+2$ . Obviamente, puedo demostrar que $x+\sqrt-2$ es un $p$ potencia y luego utilizar el teorema del binomio para obtener:
$x+\sqrt-2=(a+b\sqrt-2)^p=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k} (b\sqrt-2)^k$ .
¿Cómo puedo obtener una cota superior del número de soluciones de la ecuación a partir de aquí?

Answer 1

Esto se ha discutido en el artículo aquí en la ecuación diofantina $$ y^n=x^2+c $$ para un número entero $n$ y $c$ Así que, en particular, para $c=2$ y $n=p$ primo. Ljunggren [20] generalizó el resultado de Fermat y demostró que para $c = 2$ la ecuación no tiene más solución que $x = 5$ .

Otras referencias en este sitio: el número de soluciones enteras de $y^p = x^2 +4$