Si $(a,b)=1$ entonces $ \gcd(a^2+b^2,a^3+b^3)\mid (a-b)$

Question

Si $(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^2+b^2,a^3+b^3)\mid (a-b)$

La única forma que puede ayudar es encontrar algún factor común de $a^2+b^2$ y $a^3+b^3$ .
Eso no parece lo suficientemente obvio, así que directamente tratará de dividir $a^3+b^3$ por $a^2+b^2$ .
Esto tampoco lleva a ninguna parte.

Parece que hay que utilizar el hecho de que $a,b$ son relativamente primos, pero soy incapaz de usar eso.
Sea para algunos enteros adecuados $x, y$ , tienen $ax +by =1$ .

Answer 1

Diga $$d=\gcd(a^2+b^2,a^3+b^3)$$ entonces $d\mid (a+b)(a^2+b^2-ab)$ y $d\mid a^2+b^2$ así que, tenemos:
$$d\mid ab(a+b) = (a+b)(a^2+b^2)- (a+b)(a^2+b^2-ab)$$

Ahora supongamos que hay un primo $p$ tal que $p\mid d$ y $p\mid a$ . Entonces $p\mid a^2$ y así $p\mid b^2 = (a^2+b^2)-a^2$ . Una contradicción, ya que $a,b$ son relativamente primos. Así que $a,d$ son relativamente primos (y $b,d$ también) y $$d\mid a+b\Longrightarrow d\mid a(a+b)=a^2+ab$$

así que $$ d\mid (a^2+ab)- (a^2+b^2)= b(a-b)$$ Por el lema de Euclides tenemos $d\mid a-b$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \left(a^3+b^3\right)-b\left(a^2+b^2\right)=(a-b)a^2 $$ y $$ a\left(a^2+b^2\right)-\left(a^3+b^3\right)=(a-b)b^2 $$ y si $$ ax+by=1 $$ entonces $$ \begin{align} 1 &=(ax+by)^3\\ &=a^2\left(ax^3+3x^2by\right)+b^2\left(3axy^2+by^3\right) \end{align} $$ Así, $$ \begin{align} a-b &=(a-b)\left(\color{#C00}{a^2}\left(ax^3+3x^2by\right)+\color{#090}{b^2}\left(3axy^2+by^3\right)\right)\\ &=\color{#C00}{\left(\left(a^3+b^3\right)-b\left(a^2+b^2\right)\right)}\left(ax^3+3x^2by\right)\\ &+\color{#090}{\left(a\left(a^2+b^2\right)-\left(a^3+b^3\right)\right)}\left(3axy^2+by^3\right)\\ &=\boldsymbol{\left(a^3+b^3\right)}\left(ax^3+3x^2by-3axy^2-by^3\right)\\ &+\boldsymbol{\left(a^2+b^2\right)}\left(3a^2xy^2+aby^3-abx^3-3x^2b^2y\right) \end{align} $$ lo que significa que $$ \left.\left(a^2+b^2,a^3+b^3\right)\,\middle|\,a-b\right. $$