Entiendo la prueba que demuestra que si $f$ es monótona en un intervalo, entonces tiene a lo sumo un número contable de discontinuidades de salto. Creo que una idea similar también nos permite demostrar que cualquier función puede tener a lo sumo un número contable de discontinuidades de salto. Aquí está mi intento de demostración.
Si una continuidad de salto de $f$ existe en $x$ Esto significa que $f(x^-)$ y $f(x^+)$ existen, pero $f(x^-)\neq f(x^+)$ . La existencia de los límites izquierdo y derecho significa que para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar un $\delta > 0$ de manera que si $y\in (x,x+\delta)$ entonces $|f(x^+) - f(y)| < \epsilon $ y si $y\in (x-\delta, x)$ entonces $|f(x^-)-f(y)| < \epsilon$ . Así, la única discontinuidad (salto o no) en el intervalo $(x-\delta, x+\delta)$ está en $x$ .
Creo que esto significa que las discontinuidades de los saltos sólo existen dentro de intervalos abiertos disjuntos, de los cuales hay como mucho un número contable. Si parece que hay un problema en el límite del intervalo, por ejemplo, en un caso en el que $x<y$ son ambas discontinuidades de salto y $x+\delta_x = y-\delta_y$ , entonces podemos hacer $\delta_x$ o $\delta_y$ un poco más pequeño para evitar este solapamiento.
¿Esta prueba es correcta, o me estoy perdiendo algo? Esta afirmación parece un poco fuerte, sobre todo porque sólo he oído una afirmación similar para funciones monótonas sobre un intervalo. Si no es cierta, ¿puede alguien dar un contraejemplo?
