Otra conjetura sobre los primos

Question

Dejemos que $\mathcal{N}(n)$ sea el siguiente primo mayor que $n$ . Conjetura:

$\mathcal{N}(n!)-n!\:$ es $1$ o un primo.

Se cumple para n=1 a 99 y la expresión es 1 para 3,11,27,37,41,73,77 y primos para todos los demás $n<100$ .

No tengo ni idea de cómo proceder, pero seguiré probando para $n>99$ .

Answer 1

Esto es similar a la conjetura de Fortune, con los factoriales sustituyendo a los primoriales. La secuencia relevante en la OEIS es A033932 donde puedes encontrar tu pregunta como una conjetura de 2004 de Amarnath Murthy. Espero que otros hayan hecho la misma pregunta antes. Puedes ver que la conjetura ha sido verificada para los primeros 2000 términos.

Answer 2

Guardé en mis favoritos tu pregunta, y por fin esta semana tengo un ordenador! así que también hice algunas pruebas. Creo que la regla podría generalizarse a algo así (1):

(1) $\mathcal{N}(E(n))-E(n)\ \in \{0,1,\Bbb P\}$ .

Dónde $E(n)$ es una expresión basada en $n$ y como mencionó @Charles, los conocidos son: Números afortunados (usando primorosos), y el $n!$ versión de Amarnath Murthy que también encontraste por ti mismo.

He estado probando otras expresiones y las siguientes parecen cumplir también (quizá sean conocidas, pero sólo hice un poco de ensayo-error). He probado ambas en el intervalo $[1,300]$ con Python:

$E_1(n)=2^n\cdot n!$

Me preguntaba si era posible encontrar una expresión $E(n) \lt n!$ y el siguiente parece funcionar también. (al menos hasta $n=300$ ).

$E_2(n)=\frac{n!}{2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}$

He encontrado otras expresiones (*) $E(n) \lt E_2(n)$ que parecen cumplir también con la norma original, pero aún estoy probándolos. El tema es realmente sorprendente (y debo confesar que no sabía nada de él antes).

(*) He probado también, por ejemplo, los números catalanes, pero no cumplen.

En mi humilde opinión, un punto interesante de su investigación sería:

Cuál es la mínima expresión $E_{min}(n)$ ?

$E_{min}(n)\ /$

$\ \mathcal{N}(E_{min}(n))-E_{min}(n) \in \{0,1,\Bbb P\} \land$

$\not \exists\ E(n)\ ,\ E(n) \lt E_{min}(n) \land \ \mathcal{N}(E(n))-E(n) \in \{0,1,\Bbb P\}$

ACTUALIZACIÓN (2015/05/14) :

La siguiente expresión parece cumplir también, probada hasta donde pude con Pytyon en el intervalo $n \in [1..700]$

$E_3(n) = (\frac{n}{2})^{(n-1-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)}$

Dónde $(x)^k = x*(x+1)*...*(x+k-1)$ es el Símbolo del martillo pilón .

El origen de la expresión era el producto de los números pares $e \in [p,2p-2]$ , donde $p$ es un primo. Dicha expresión puede escribirse como $2^{k_1}(\frac{p}{2})^{k_2}$ . Esa expresión no pasó la prueba por pocos $p$ 's. Por esa razón he probado por separado $2^{k_1}$ y $(\frac{p}{2})^{k_2}$ .

Mientras que el $2^{k_1}$ falló, el lado de Pochhammer cumplió con la regla para todos los primos hasta $n=700$ . Luego apliqué ese mismo cálculo no sólo para los primos sino para cualquier número impar, y también trabajé en el intervalo. Y finalmente apliqué lo mismo para cualquier número par. Así que finalmente la expresión candidata que funciona en todo el intervalo $[1,700]$ es el lado Pochhammer de la expresión inicial que probé.

Estaría bien poder probar en un intervalo mayor (no puedo probarlo debido a mi portátil) porque $E(n) = (\frac{n}{2})^{(n-1-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor)}$ es mucho menor que $n!$ por lo que el coste computacional es menor (de todas formas son semi-factoriales, por lo que lleva tiempo)

Lo que no he podido encontrar todavía es una expresión basada únicamente en la potencia. Todas ellas requieren factoriales...