Limit question on Lebesgue functions Pregunta de límite sobre funciones de Lebesgue

Question

Sea $f\in L^1(\mathbb{R})$. Calcular $\lim_{|h|\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^\infty |f(x+h)+f(x)|dx$

Si $f\in C_c(\mathbb{R})$ tengo el límite como $\int_{-\infty}^\infty |f(x)|dx$. No estoy seguro si esto es correcto.

Answer 1

• Sea $f$ una función continua con soporte compacto, contenido en $-[R,R]$. Para $h\geq 2R$, los soportes de $\tau_hf$ y $f$ son disjuntos (respectivamente $[-R-h,R-h]$ y $[-R,R]$), por lo tanto \begin{align*} \int_{\Bbb R}|f(x+h)+f(x)|dx&=\int_{[-R,R]}|f(x+h)+f(x)|+\int_{[-R-h,R-h]}|f(x+h)+f(x)|\\ &=\int_{[-R,R]}|f(x)|+\int_{[-R-h,R-h]}|f(x+h)|\\ &=2\int_{\Bbb R}|f(x)|dx. \end{align*}
• Si $f\in L^1$, sea $\{f_n\}$ una secuencia de funciones continuas con soporte compacto que converge a $f$ en $L^1$, por ejemplo $\lVert f-f_n\rVert_{L^1}\leq n^{-1}$. Sea $L(f,h):=\int_{\Bbb R}|f(x+h)+f(x)|dx$. Tenemos \begin{align} \left|L(f,h)-L(f_n,h)\right|&\leq \int_{\Bbb R}|f(x+h)-f_n(x+h)+f(x)-f_n(x)|dx\\ &\leq \int_{\Bbb R}(|f(x+h)-f_n(x+h)|+|f(x)-f_n(x)|)dx\\ &\leq 2n^{-1}, \end{align} y deducimos que $$|L(f,h)-2\lVert f\rVert_{L^1}|\leq 4n^{-1}+|L(f_n,h)-2\lVert f_n\rVert_{L^1}|.$$ Para cada entero $n$, $$\limsup_{h\to +\infty}|L(f,h)-2\lVert f\rVert_{L^1}|\leq 4n^{-1}.$$ Esto nos da el resultado buscado.

Answer 2

Pista: si $f \ne 0$ para $ x \in (a,b)$, y $h$ es suficientemente grande, $|f(x+h)+f(x)| \ne 0$ para $x \in (a,b) \cup (a-h,b-h)