¿Cuáles son las tres raíces cúbicas de -1?
No sé si es una pregunta trampa, pero me han preguntado esto. una de las respuestas es -1, ¿cuáles son las otras 2?
Respuestas
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user3035
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Escribe $-1$ en forma polar como $e^{i\pi}$ . En general, las raíces cúbicas de $r e^{i\theta}$ vienen dadas por $r^{1/3}e^{i\theta/3}$ , $r^{1/3}e^{i(\theta/3 + 2\pi /3)}$ y $r^{1/3}e^{i(\theta/3 + 4\pi /3)}$ . En su caso $r = 1$ y $\theta = \pi$ , por lo que sus raíces cúbicas son $e^{i\pi / 3}$ , $e^{i\pi}$ y $e^{i 5\pi/ 3}$ . Puestos en forma rectangular, son ${1 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}$ , $-1$ y ${1 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}$ .
David HAust
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HINT $\ $ Dejemos que $\rm\ \ x\ \to\ -x\ \ $ en $\rm\displaystyle\ \ \frac{1-x^3}{1-x}\ =\ 1+x+x^2\:.\ $
Por lo general, se supone que $\rm\:f(x)\:$ es un polinomio sobre un campo con raíces $\rm\: a \ne b\:$ . Entonces $\rm\ f(x) = (x-a)\ g(x)\ $ por lo que $\rm\: f(b) = 0\: \Rightarrow\ (a-b)\:g(b) = 0\ \Rightarrow\ g(b) = 0\ $ es decir $\rm\:b\:$ es una raíz de $\rm\ f(x)/(x-a)\:$ .
Desde la perspectiva de la factorización, la razón por la que esto funciona es porque, sobre un dominio, los polinomios lineales mónicos son primos, por lo que los factores lineales de un polinomio son únicos, es decir, las raíces y su multiplicidad son únicas. por ejemplo, véase mi publicar aquí . Esto falla en los anillos de coeficientes que no son dominios, es decir, que tienen divisores cero, por ejemplo $\rm\ x^2-1 = (x-1)(x+1) = (x-4)(x+4)\ $ en $\ \mathbb Z/15\:$ . Aquí, aunque $4 \ne 1$ es una raíz de $\rm\ x^2 - 1$ no es cierto que 4 sea una raíz de $\rm\ (x^2-1)/(x-1) = x+1\:$ . Para el ejemplo que nos ocupa tenemos $\rm\ x^3 + 1 = (x+1)(x+9)(x-10) = (x+16)(x+22)(x-38)\ $ en $\ \mathbb Z/91\:$ .
