Notación de geometría diferencial

Question

Cuando tenemos una métrica sobre una variedad, existe un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el espacio cotangente, por lo que, si lo he entendido bien, no es tan importante llevar la cuenta de qué índices están arriba y cuáles abajo, ya que básicamente siempre asumes implícitamente que si un índice que estaba definido como arriba está abajo, la métrica ha sido utilizada para "bajarlo", y viceversa.

Por lo tanto, cuando tenemos una métrica, ¿por qué siempre ¿es necesario preocuparse por los índices que suben y los que bajan? ¿No podríamos, por convención, escribir todos los índices hacia abajo (como se hace en el resto de las matemáticas) y terminar con esta historia?

Answer 1

No, si no quieres que las derivadas del tensor métrico aparezcan por todas partes.

También podrías hacer geometría diferencial esencialmente sin índices e insertar la base y la base dual en los lugares apropiados. Si se utiliza la tradición de las letras latinas para la base primaria y las letras griegas para la base dual, entonces los índices más bajos en todas partes son aceptables. Pero las fórmulas son mucho más largas.

Answer 2

Podría ser útil considerar un sistema alternativo de hacer geometría diferencial y cómo maneja este problema.

La "Teoría Gauge de la Gravedad" se desarrolló para utilizar el álgebra de Clifford y los "campos marco" en una variedad intrínsecamente plana para la gravedad, pero es esencialmente un marco para la geometría diferencial. Replica las construcciones habituales de la geometría diferencial utilizando un mapa lineal $h$ El campo gauge de desplazamiento (o posición) es algo así como la raíz cuadrada de la métrica. En particular, $g(a, b) \equiv h^{-1}(a) \cdot h^{-1}(b)$ para dos vectores $a, b$ .

Te habrás dado cuenta de que he dicho vectores, y no covectores. Los elementos de la variedad base no se distinguen realmente entre sí porque es un espacio plano, así que, en principio, podrías poner covectores en su lugar. La distinción entre vectores y covectores viene en cómo $h$ se utiliza para desarrollar una cantidad geométricamente significativa (es decir, que obedece a las leyes de transformación tensorial). Los vectores siempre utilizan $h^{-1}$ y los covecinos siempre utilizan $h^T$ . Las derivadas, como la derivada covariante $\nabla$ debe estar siempre envuelto en $h^T$ para conseguir $h^T(\nabla)$ mientras que una curva $\alpha(t)$ recogerá naturalmente $h^{-1}$ cuando se diferencian para obtener $h^{-1}(\alpha')$ .

Así que mientras podría transformar todos los covectores utilizando la métrica para que todo quede envuelto en $h^{-1}$ en lugar de $h^T$ Es un poco engorroso hacerlo. El enfoque GTG permite simplemente definir cantidades como $\tilde v = h^{-1}(\alpha')$ y olvidar cómo se envolvieron las cantidades desnudas en primer lugar. Los productos de puntos entre cantidades que obedecen las leyes de transformación adecuadas son inherentemente significativos desde un punto de vista geométrico, así que no hay problema. Esto es algo que la geometría diferencial convencional no puede hacer.

Así que hasta que a DG se le ocurra algo así, estás un poco atascado. Puedes escribir todas las fórmulas y demás asumiendo sólo argumentos vectoriales (do Carmo lo hace en su libro de geometría riemanniana), o puedes llevar la cuenta de todo a mano. Yo prefiero este último enfoque porque, si bien hay una equivalencia, llevar la cuenta de si una cantidad es vectorial o covectorial o algo así puede decirte un poco sobre la naturaleza de esa cantidad: ¿procede de un gradiente, digamos, o es una derivada a lo largo de una curva?

Puede que la GTG esté un poco "fuera de lugar", pero si estás estudiando la gravedad, podría considerar la posibilidad de buscar campos de fotogramas al menos (o tétradas, o vierbeins; todos significan lo mismo).