Aproximación normal a la binomial

Question

¿Qué hago cuando la aproximación normal no es válida?

Esta es la pregunta que intento responder:

Un estudiante adivina las 15 respuestas de un examen tipo test. Hay 5 opciones para cada una de las preguntas. Encuentre la probabilidad (correcta con 6 decimales) de que el estudiante apruebe el examen.

gracias

Answer 1

Lo que constituye "válido" depende de muchas cosas (aunque apuesto a que te han dado una "regla" general que en muchos casos será demasiado estricta y en otros demasiado débil, dependiendo de tus necesidades). En este caso, el requisito de precisión de 6dp impide utilizar aproximaciones a menos que el tamaño de las muestras sea muy grande.

Así que, obviamente, la idea es que se aplique el binomio directamente.

Tendrías que hacer algunas suposiciones, que son necesarias para aplicar la binomial.

A continuación, sólo hay que calcular las probabilidades binomiales reales en cuestión.

http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

Es decir, no es necesario intentar aplicar la aproximación normal en sí misma, basta con calcular la probabilidad requerida. ¿Qué notas del examen corresponden a un aprobado? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado entre esos valores?

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Algunos comentarios sobre la forma de la pregunta (no la pregunta del OP, la que se ha puesto para que lo haga):

En serio, ¿quién necesita la probabilidad a la precisión de 6dp?

Incluso si lo necesitas, ¿cuándo se cumplen los supuestos (como la independencia o la probabilidad constante de éxito) lo suficientemente cerca como para obtener ese nivel de precisión?

Estamos hablando de una probabilidad de cola extrema. Incluso pequeñas cantidades de dependencia o heterogeneidad de la probabilidad y el cálculo podría estar fuera por órdenes de magnitud (es decir, ni siquiera cerca de una cifra significativa de precisión)

Este tipo de pregunta implica un nivel de precisión ridículamente falso para nuestros modelos.

En un problema del mundo real de este tipo, normalmente tendríamos suerte si conseguimos más de un par de cifras de precisión, porque no tenemos realmente independencia, etc. La sombra de la famosa máxima de George Box (en forma abreviada, ' todos los modelos son erróneos; algunos son útiles ') está siempre presente.

Answer 2

Una pregunta complicada requiere un truco para responderla.

Digamos que un aprobado equivale al 60%, es decir, se necesitan 9 o más respuestas correctas para aprobar. El programa que tengo para las "Sumas de Probabilidades Binomiales" da la Probabilidad de obtener r o menos, también es cierto para todas las tablas que he visto, así que se necesita un poco de álgebra.
Desde $P(\leq 8)+P(X\geq 9)=1$
Entonces $P(X\geq 9)=1-P(X\leq 8)$ . Este es el truco. Y nuestro problema se convierte en encontrar $1-P(X\leq 8)$ para $\mathrm{Binomial}(x;15,.2)$
Para $P(X\leq 8)$ Me sale $0.999215$
Y $P(X\geq 9)=1-0.999215=0.000785$ Esta es la respuesta correcta
Así que menos de 4 de 5000 posibilidades de aprobar el examen sólo por suerte.

Ahora bien, si la solución requiere el uso de la aproximación normal, veamos una tabla de "Área bajo la curva normal". Una con un área acumulada de 0 en la parte superior izquierda y que aumenta a 0,5 en el centro y termina en 1 en la parte inferior derecha. Para esta Aproximación Normal al problema de la Binomial, el valor x va de 0 a 15 respuestas correctas de la prueba. Y como se necesita una corrección de continuidad, el área acumulada se incrementa en los valores x de 0,5, 1,5, 2,5, etc. Dado que las tablas dan el área acumulada para la Curva Normal Estándar, los valores x tienen que ser transformados en valores z. Por lo tanto, necesitamos :
$x=8.5$ (Con corrección de continuidad)
$u=p*n=.2*15=3$ Valor x esperado, se produce en el pico de la curva
$s=\sqrt{(n\cdot p\cdot (1-p))}=\sqrt{(15\cdot .2\cdot .8)}=1.5491933$ La desviación de esta curva normal

$z=(x-u)/s=(8.5-3)/1.5491933=3.5502348$ Valor x transformado
Y nuestro problema para encontrar $1-P(X\leq8)$ para $\mathcal{N}(x;3,1.5491933)$ El truco de nuevo
Se transforma en $1-P(Z\leq3.5502348)$ para $\mathcal{N}(z;0,1)$
Ahora $P(X\leq 8)=P(Z\leq 3.5502348)=0.999808$ Por programa informático
Y $P(X\leq 9)=P(Z > 3.5502348)=1-0.999808=0.000192$ Esta es la respuesta aproximada.
Por lo tanto, ¡menos de 1 de cada 5000 posibilidades de aprobar el examen sólo por suerte!

Supongo que se puede decir que están de acuerdo en que no hay muchas posibilidades de aprobar el examen en 1000 intentos sólo por suerte.
Ahora bien, si en el improbable caso de que el aprobado de este examen hubiera sido del 81% o más , la probabilidad de aprobar sólo por suerte por ambos métodos es la misma: $0.000000$ .