Grupo nilpotente sin torsión

Question

Estoy buscando una prueba corta para el siguiente hecho:

En un grupo nilpotente sin torsión tenemos: un elemento no trivial no puede ser conjugado con su inverso.

Sé muy poco sobre grupos nilpotentes libres de torsión, una de sus propiedades es que tienen raíces únicas; es decir, para todo $n \ge 1$ , $x^n=y^n \Rightarrow x=y$ .

Gracias de antemano a quien esté dispuesto a ayudar :-).

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo libre de torsión, y supongamos que algún elemento no trivial $x \in G$ es conjugada con su inversa. Por lo tanto, existe $y \in G$ con $y^{-1}xy=x^{-1}$ .

Dejemos que $H = \langle x,y \rangle$ sea el subgrupo de $G$ generado por $x$ y $y$ . Entonces $y^2$ centraliza tanto $x$ y $y$ Así que $y^2 \in Z(H)$ . Desde $y$ no centraliza $x^k$ para cualquier $k \ne 0$ , $x^k$ no puede ser un poder de $y$ y por lo tanto $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = 1$ .

Por lo tanto, $Q = H/\langle y^2 \rangle$ se genera por elementos $\bar{x},\bar{y}$ de pedidos $\infty$ y $2$ con $\bar{y}^{-1} \bar{x} \bar{y} = \bar{x}^{-1}$ Así que $Q$ es el grupo diédrico infinito, que no es nilpotente, porque tiene centro trivial.

Así que $G$ no es nilpotente.