Este post ha sido provocado por la mención de "feo" en los comentarios ...
G. H. Hardy escribió una vez (en "A Mathematician's Apology", 1941)
La belleza es la primera prueba: No hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas.
Ver también en Philosophy.SE el post ¿Qué quería decir Hardy con "matemáticas feas"? .
Deje que el software trabajar en $A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)$
python.scipy.linalg.polar(A) se obtiene la descomposición polar
Q = [[ 0.89442719, 0.4472136 ],
[-0.4472136 , 0.89442719]]
S = [[ 0.89442719, 0.4472136 ],
[ 0.4472136 , 1.34164079]]
Observe que $\,0.4472136=1\big/{\sqrt 5}\,$ .
Manipulación manual de $A$
Determinamos $\,S=|A|\,$ primero. $$S^2\,=\,A^*\!A\:=\:\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \;\text{ has the eigenvalues } \left(\frac{\sqrt 5\pm 1}2\right)^2\,,$$ por lo que es positivo-definido.
$\frac{\sqrt 5+1}2=1.618034$ es la proporción áurea, que en la secuela se denota por $\phi$ . Obsérvese que satisface
- $\phi^2=\phi +1\iff \phi(\phi -1) =1$
- $\phi +2=\sqrt5\,\phi$
Esto ayuda a identificar los vectores propios de $S^2$ como $$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ \phi\end{pmatrix} \:=\: \phi^2\begin{pmatrix}1\\ \phi\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-\phi\\ 1\end{pmatrix} \:=\: (\phi-1)^2\begin{pmatrix}-\phi\\1\end{pmatrix}\,.$$ También son vectores propios de $S$ a los valores propios $\phi$ y $\phi -1$ .
Incorporando los factores de normalización se obtiene $$\begin{align} S \:& =\frac1{\sqrt{\phi^2+1}}\begin{pmatrix}1&-\phi\\ \phi&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\phi&0\\0&\phi-1\end{pmatrix} \frac1{\sqrt{\phi^2+1}}\begin{pmatrix}1&\phi\\ -\phi&1\end{pmatrix} \:=\: \frac1{\phi+2}\begin{pmatrix}2\phi&\phi\\ \phi&3\phi\end{pmatrix} \\[2ex] & =\frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} \end{align}$$
Como $S\,$ es positivo-definido, por lo tanto invertible, el factor unitario $Q$ en la descomposición polar puede obtenerse como $$Q\,=\,AS^{-1}\:=\:\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\,\frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}\;=\; \frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}$$ En resumen $$A\:=\:\frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}\: \frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}\,,$$ ¿y dónde está la fealdad?
