Axioma de elección y la igualdad entre el universo construible de segundo orden y el HOD

Question

Trato de probar $L_{SO}=\mathrm{HOD}$ , donde $L_{SO}$ es un universo construible de segundo orden que tiene una definición similar con $L$ pero utiliza la definibilidad de segundo orden en lugar de la definibilidad de primer orden, y he encontrado la respuesta en MO . Además, he encontrado el artículo referido en la respuesta que está escrito por Myhill y Scott.

La prueba de $L_{SO}=\mathrm{HOD}$ en la respuesta mencionada anteriormente y el artículo utiliza el axioma de elección. (Exactamente, utiliza la tricotomía para los cardenales y la utilizan para demostrar $\mathrm{HOD}\subset L_{SO}$ ). Mi pregunta es: usar el axioma de elección es esencial para demostrar $\mathrm{HOD}\subset L_{SO}$ ? Gracias por cualquier información o aclaración.

Answer 1

La igualdad $L_{SO}=HOD$ no se puede demostrar sólo en $ZF$ . Esto se demuestra en el documento ``La consistencia de la teoría $ZF+L^1\neq HOD$ '' de Szczepaniak.

Aquí $L^1$ se refiere a lo que nombró $L_{SO}$ . La idea de la prueba es la siguiente:

$(1)$ Si dos modelos de $ZF$ tienen los mismos conjuntos de ordinales, entonces tienen las mismas clases $L^1,$

$(2)$ Hay modelos $N_1 \subset N_2$ con los mismos conjuntos de ordinales, de tal manera que existe un real $a\in N_1$ tal que $a\notin HOD^{N_1}$ pero $a\in HOD^{N_2}.$

Ahora el resultado se deduce de $(1)$ y $(2)$ . El documento se puede encontrar aquí